Routhin lause

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Routh'in teoreema antaa ceviaanien sisälle sulkeman kolmion pinta-alan suhteessa referenssikolmioon.

Routhin lause antaa geometriaassa kolmen ceviaanin sisällensä rajoittaman kolmion pinta-alan. Sen esitti ja todisti ensimmäisenä Edward John Routh (1831 – 1907) vuonna 1891.[1][2][3]

Teoreeman sisältö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kolmion kärjestä vastakkaiselle sivulle piirretyt janoja kutsutaan joskus ceviaaneiksi. Ceviaanin kantapiste, joka on sen päätepiste vastaisella sivulla, jakaa vastaisen sivun osiin w: a. Jos jakosuhde ilmaistaan kahtena reaalilukuna, joista toinen kirjoitetaan oikeanpuoleisen monikertana ja sitten supistetaan xa: a= x : 1, voidaan jako ilmaista kertoimen ja ykkösen avulla. Jos kerroin on aina ceviaanien erottaman kolmion puolella, voidan kaikkien sivujen jaot ilmaista x : 1, y : 1 ja z : 1, ja tämän kolmion ala A laskea

A = \frac{(xyz-1)^2}{(xy+x+1)(yz+y+1)(zx+z+1)}\Delta,

missä \Delta on referenssikolmion pinta-ala.[1]

Eräitä erityistapauksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos kantapisteet jakavat kaikki sivut samalla tavalla eli x=y=z\equiv n, lasketaan sisään jäävän kolmion alaksi

A=\frac{(n-1)^2}{n^2+n+1}\Delta = k(n)\Delta. [1]

Kun n=1,2,3,\dots ovat kokonaislukuja, saadaan \Delta:n kertoimiksi

k(n)= 0, \frac{1}{7}, \frac{4}{13}, \frac{3}{7}, \frac{16}{31},\frac{25}{43}, \dots

Kun ceviaanit jakavat kolmion sivut suhteessa 1 : 1 (n=1), muodostavat ne keskijanojen leikkauspisteen eli painopisteen, jonka "pinta-ala" on nolla. Kun ceviaanit jakavat sivut 2 : 1 (n=2), muodostuvan kolmion pinta-alan A suhde referenssikolmion pinta-alaan \Delta on 1 : 7 eli

A= k(2)\Delta =\frac{1}{7} \Delta.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b c Weisstein, Eric W.: Routh's Theorem (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  2. J J O'Connor and E F Robertson: Edward John Routh, University of St Andrews, Skotlanti
  3. E. J. Routh: A Treatise on Analytical Statics with Numerous Examples. Vol. I, 2nd ed. (Cambridge: at the University Press, 1909) (1st ed. 1891).