Ristikorrelaatio

Ristikorrelaatio eli liukuva pistetulo on signaalinkäsittelyssä käytetty mittari, joka kertoo kahden aaltomuodon samankaltaisuuden, kun toista on siirretty ajan $\tau$ verran. Usein ristikorrelaation avulla etsitään lyhyttä signaalia f pidemmästä signaalista g.

Sanan ristikorrelaatio vaihtoehtoinen merkitys (tilastotieteessä) on kahden satunnaismuuttujan X ja Y kovarianssi cov(X, Y) erotuksena yhden satunnaismuuttujan X "kovarianssista", jolla tarkoitetaan muuttujan X skalaarikomponenttien kovarianssimatriisia.

Jatkuville funktioille f ja g alussa mainittu ristikorrelaatio määritellään:

$(f \star g)(t)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \int_{-\infty}^{\infty} f^*(\tau)\ g(t+\tau)\,d\tau,$

missä f * tarkoittaa funktion f kompleksikonjugaattia.

Vastaavasti diskreeteille funktioille ristikorrelaatio määritellään:

$(f \star g)[n]\ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \sum_{m=-\infty}^{\infty} f^*[m]\ g[n+m].$

Ristikorrelaatio siis eroaa konvoluutiosta siten, että konvoluutiossa funktio g peilataan (käännetään) ajallisesti (termin n+m tilalla n-m) ja funktiota f ei konjugoida. Joskus ristikorrelaatio normalisoidaan.

Funktion ristikorrelaatiossa itsensä kanssa huippu saavutetaan aina muuttujan arvolla nolla (aito huippu, ellei kyseessä ole nollasignaali).

Selitys

Jos funktio f on sama kuin funktio g mutta siirrettynä, näiden ristikorrelaation maksimikohta kertoo, kuinka suuri siirto oli. Muutenkin ristikorrelaation reaaliosan maksimikohta kertoo, mikä kohta g:stä on pisimmällä f:n suunnassa.

Normalisoitu ristikorrelaatio

Kuvankäsittelysovelluksissa, joissa kuvan ja etsityn mallin kirkkaus vaihtelevat, kuvat normalisoidaan ennen ristikorrelaation laskemista.

Kun kuvasta $f(x,y)$ etsitään mallia $t(x,y)$, tämä tehdään seuraavasti:

$\frac{1}{n-1} \sum_{x,y}\frac{(f(x,y) - \overline{f})(t(x,y) - \overline{t})}{\sigma_f \sigma_t}$.

missä $n$ on pikselien lukumäärä, $\overline{f}$ signaalin f keskiarvo ja $\sigma_f$ keskihajonta (jakajan n-1 selitys on samanlainen kuin keskihajonnan määritelmässä). Jos merkitään

$F(x,y) = f(x,y) - \overline{f}$

ja

$T(x,y) = t(x,y) - \overline{t}$

niin normalisoitu ristikorrelaatio voidaan kirjoittaa muotoon

$\left\langle\frac{F}{\|F\|},\frac{T}{\|T\|}\right\rangle$

missä $\langle\cdot,\cdot\rangle$ on sisätulo ja $\|\cdot\|$ on L²-normi. Kyseessä on siis normalisoitujen vektoreiden välinen pistetulo eli vektorien F ja T välisen kulman kosini, joka on siis välillä -1...1, mikäli F ja T ovat reaalisia matriiseja. Jos arvo on 1, matriisi T on sama kuin matriisi F kerrottuna positiivisella vakiolla.