Ristikorrelaatio

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Ristikorrelaatio eli liukuva pistetulo on signaalinkäsittelyssä käytetty mittari, joka kertoo kahden aaltomuodon samankaltaisuuden, kun toista on siirretty ajan \tau verran. Usein ristikorrelaation avulla etsitään lyhyttä signaalia f pidemmästä signaalista g.

Sanan ristikorrelaatio vaihtoehtoinen merkitys (tilastotieteessä) on kahden satunnaismuuttujan X ja Y kovarianssi cov(XY) erotuksena yhden satunnaismuuttujan X "kovarianssista", jolla tarkoitetaan muuttujan X skalaarikomponenttien kovarianssimatriisia.

Jatkuville funktioille f ja g alussa mainittu ristikorrelaatio määritellään:

(f \star g)(t)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \int_{-\infty}^{\infty} f^*(\tau)\ g(t+\tau)\,d\tau,

missä f * tarkoittaa funktion f kompleksikonjugaattia.

Vastaavasti diskreeteille funktioille ristikorrelaatio määritellään:

(f \star g)[n]\ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \sum_{m=-\infty}^{\infty} f^*[m]\ g[n+m].

Ristikorrelaatio siis eroaa konvoluutiosta siten, että konvoluutiossa funktio g peilataan (käännetään) ajallisesti (termin n+m tilalla n-m) ja funktiota f ei konjugoida. Joskus ristikorrelaatio normalisoidaan.

Funktion ristikorrelaatiossa itsensä kanssa huippu saavutetaan aina muuttujan arvolla nolla (aito huippu, ellei kyseessä ole nollasignaali).

Selitys[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos funktio f on sama kuin funktio g mutta siirrettynä, näiden ristikorrelaation maksimikohta kertoo, kuinka suuri siirto oli. Muutenkin ristikorrelaation reaaliosan maksimikohta kertoo, mikä kohta g:stä on pisimmällä f:n suunnassa.

Normalisoitu ristikorrelaatio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kuvankäsittelysovelluksissa, joissa kuvan ja etsityn mallin kirkkaus vaihtelevat, kuvat normalisoidaan ennen ristikorrelaation laskemista.

Kun kuvasta f(x,y) etsitään mallia t(x,y), tämä tehdään seuraavasti:

\frac{1}{n-1} \sum_{x,y}\frac{(f(x,y) - \overline{f})(t(x,y) - \overline{t})}{\sigma_f \sigma_t}.

missä n on pikselien lukumäärä, \overline{f} signaalin f keskiarvo ja \sigma_f keskihajonta (jakajan n-1 selitys on samanlainen kuin keskihajonnan määritelmässä). Jos merkitään

F(x,y) = f(x,y) - \overline{f}

ja

T(x,y) = t(x,y) - \overline{t}

niin normalisoitu ristikorrelaatio voidaan kirjoittaa muotoon

\left\langle\frac{F}{\|F\|},\frac{T}{\|T\|}\right\rangle

missä \langle\cdot,\cdot\rangle on sisätulo ja \|\cdot\| on L²-normi. Kyseessä on siis normalisoitujen vektoreiden välinen pistetulo eli vektorien F ja T välisen kulman kosini, joka on siis välillä -1...1, mikäli F ja T ovat reaalisia matriiseja. Jos arvo on 1, matriisi T on sama kuin matriisi F kerrottuna positiivisella vakiolla.