Resultantti (matematiikka)

Olkoon k kunta. Kahden k-kertoimisen pääpolynomin P ja Q resultantti on tulo

$\mathrm{res}(P,Q) = \prod_{(x,y):\,P(x)=0,\, Q(y)=0} (x-y),$

missä $x$ ja $y$ kuuluu $k$:n algebralliseen sulkeumaan. Ei-pääpolynomin, jonka johtavat kertoimet ovat $p$ ja $q$, resultantti on edellinen kerrottuna luvulla

$p^{\deg Q} q^{\deg P}.\,$

Resultantin laskeminen

• Resultantin voi laskea Sylvesterin matriisin avulla, samoin kuin Bezout'n matriisin avulla.

• Kun Q on separoituva, yllä oleva tulo voidaan kirjoittaa muodossa

$\mathrm{res}(P,Q) = \prod_{P(x)=0} Q(x),$

ja tämä tulo säilyy muuttumattomana kun q korvataan polynomilla Q mod P. Huomaa, että ei-pääpolynomien tapauksessa tulo käsittää tekijän $q^{\deg P}$, mutta tuloon tarvitaan myös tekijä $p^{\deg Q}$.

Kirja "K. Vaisala Lukuteorian ja Korkeamman algebran alkeet" sivuilla 168-170 laskee resultantin esimerkin avulla. Resultantti on siis tulo polynomien juurien erotusten kanssa (sivu 168). Jos $R=0$ silloin ja vain silloin polynomeilla on yhteinen juuri (sivu 168). Resultantti voidaan ilmaista determinantin muodossa (sivu 170).