Resultantti (matematiikka)

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Tämä artikkeli käsittelee matemaattista polynomien resultanttia. Fysikaalisesta voimien resultantista on eri artikkeli.

Olkoon k kunta. Kahden k-kertoimisen pääpolynomin P ja Q resultantti on tulo

\mathrm{res}(P,Q) = \prod_{(x,y):\,P(x)=0,\, Q(y)=0} (x-y),

missä x ja y kuuluu k:n algebralliseen sulkeumaan. Ei-pääpolynomin, jonka johtavat kertoimet ovat p ja q, resultantti on edellinen kerrottuna luvulla

p^{\deg Q} q^{\deg P}.\,

Resultantin laskeminen[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Kun Q on separoituva, yllä oleva tulo voidaan kirjoittaa muodossa
\mathrm{res}(P,Q) = \prod_{P(x)=0} Q(x),
ja tämä tulo säilyy muuttumattomana kun q korvataan polynomilla Q mod P. Huomaa, että ei-pääpolynomien tapauksessa tulo käsittää tekijän q^{\deg P}, mutta tuloon tarvitaan myös tekijä p^{\deg Q}.

Kirja "K. Vaisala Lukuteorian ja Korkeamman algebran alkeet" sivuilla 168-170 laskee resultantin esimerkin avulla. Resultantti on siis tulo polynomien juurien erotusten kanssa (sivu 168). Jos R=0 silloin ja vain silloin polynomeilla on yhteinen juuri (sivu 168). Resultantti voidaan ilmaista determinantin muodossa (sivu 170).