Rationaalijuurilause

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Rationaalijuurilause tai rationaalijuuritesti kertoo, millaisia rationaalijuuria kokonaislukukertoimisella polynomiyhtälöllä

f(x) = a_n x^n +a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0 = 0

voi olla.

Lause sanoo, että jos a0 ja an eivät ole nollia, ja yhtälöllä on rationaalijuuritarkaisu \tfrac{p}{q}, missä syt (p,q)=1, niin p jakaa termin a0 ja q jakaa termin an.

Todistus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon \frac{p}{q} yhtälön f(x) = a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0 ratkaisu ja kertoimet an,an-1,...,a0 kokonaislukuja.

Tällöin pätee f\left(\tfrac{p}{q}\right) = a_n\left(\tfrac{p}{q}\right)^n + a_{n-1}\left(\tfrac{p}{q}\right)^{n-1} + \cdots + a_1\left(\tfrac{p}{q}\right) + a_0 = 0. Siirtämällä vakiotermo a0 toiselle puolelle yhtälöä ja kertomalla puolittain termillä qn saadaan yhtälö muotoon

\qquad p(a_np^{n-1} + a_{n-1}qp^{n-2} + \cdots + a_1q^{n-1}) = -a_0q^n.

Nyt siis p jakaa tulon -a_0q^n. Koska p:n ja q:n suurin yhteinen tekijä on 1, p ei jaa q:ta eikä myöskään lukua qn. Siis p jakaa luvun a0.

Siirtämällä korkeimman asteen termi oikealle puolelle voidaan päätyä vastaavasti yhtälöön

\qquad q(a_{n-1}p^{n-1} + a_{n-2}qp^{n-2} + \cdots + a_0q^{n-1}) = -a_np^n.,

josta puolestaan voidaan päätellä, että luvun qn täytyy jakaa luku an. [1]

Esimerkki[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tarkastellaan yhtälöä P(x) = 3x^3-7x^2+4 ja tutkitaan, onko sillä rationaalijuurta p/q. Rationaalijuurilauseen perusteella p jakaa vakiotermin 4 ja q jakaa korkeimman asteen termin 3. Nyt siis p \in \{\pm1,\pm2,\pm4\} ja q \in \{\pm1,\pm3\}. Yhdistämällä tiedot voidaan päätellä mahdollisen rationaalijuuren kuuluvan joukkoon \{\pm1,\pm2,\pm4,\pm\tfrac{1}{3},\pm\tfrac{2}{3},\pm\tfrac{4}{3}\}. Sijoittamalla juuret yhtälöön voidaan kokeilemalla huomata, että P(2)=P(1)=P(-\tfrac{2}{3})=0. Yhtälön rationaalijuuret ovat siis 1, 2 ja -2/3.

Rationaalijuurilause rajaa tarkasti, mitkä rationaaliluvut voivat olla yhtälön juuria. Yhdenkään näistä ei kuitenkaan tarvitse olla yhtälön juuri, sillä esimerkiksi yhtälöllä Q(x)=x^5+3=0 ei ole rationaalijuuria. Rationaalijuuritestin perusteella sen ainoat rationaalijuuret voisivat olla 1,-1,-3 ja 3, mutta kuitenkin Q(1)= 4, Q(-1)= 2, Q(3)=246 ja Q(-3) = -240.

Algebrallinen yleistys[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Rationaalijuurilause pätee myös muille algebrallisille rakenteille kuin kokonaisluvuille ja rationaaliluvuille. Ylempänä esitetty todistus pätee jokaiselle tekijöihinjakorenkaan R polynomirenkaan R[X] alkiolle, kun tutkitaan polynomin juuria R:n osamääräkunnassa K.[2]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]