QR-hajotelma

Wikipedia

QR-hajotelma on eräs matriisihajotelma, jolla siis pyritään ilmaisemaan annettu matriisi jollakin tavoin yksinkertaisempien matriisien tulona. QR-hajotelma voidaan muodostaa mille tahansa matriisille. Kompleksikertoimisen $m \times n$ -matriisin $A$ QR-hajotelma on tulo

$A=QR\,$ ,

missä $Q$ on $m \times m$ unitaarimatriisi ja $R$ on $m \times n$ yläkolmiomatriisi. Erityisesti reaalikertoimisen matriisin A tapauksessa $Q$ on ortogonaalimatriisi. Koska kahden kolmiomatriisin tulo on myös kolmiomatriisi, QR-hajotelma voi siältää myös useita yläkolmiomatriiseja, jolloin

$A= QR_1R_2R_3...\,$

Hajotelma voidaan teoreettisesti perustaa Gramin–Schmidtin ortonormeeraukseen, mutta käytännössä se muodostetaan kertomalla vasemmalta joko Householderin peilausmatriiseilla tai Givensin rotaatiomatriiseilla.

QR-hajotelma on erittäin käyttökelpoinen työkalu lineaariavaruuksien projektioiden käsittelyssä ja sitä käytetään ylsisesti myös matriisien numeerisessa käsittelyssä. QR-hajotelmasta voidaan päätellä matriisin rangi eli kuva-avaruuden dimensio ja hajotelman matriisista $Q$ löytyy myös kuva-avaruuden kanta ortonormeerattuna.