Projektiivinen taso

Yhdensuuntaiset suorat näyttävät leikkaavan horisontissa, pakopisteessä, jonka voidaan ajatella olevan äärettömän kaukana

Projektiivinen taso on geometrinen struktuuri, joka laajentaa tason käsitettä. Tavallisella euklidisella tasolla kaksi suoraa tavallisimmin leikkaa toisensa yhdessä pisteessä, mutta on myös suoria, yhden­suuntaisia suoria, jotka eivät leikkaa. Projek­tiivinen taso voidaan käsittää tavalliseksi tasoksi, johon on lisätty "äärettömän kaukaisia" pisteitä, joissa yhden­suuntaiset suorat leikkaavat. Täten mitkä tahansa kaksi suoraa leikkavat toisensa aina yhdessä ja vain yhdessä pisteessä.

Tämän matematiikan haaran kehityksen panivat alulle renessanssiajan kuva­taiteilijat kehittäessään perspektiivipiirustuksen tekniikkaa.

Tavallisimmin projektiivisella tasolla tarkoitetaan reaalista projektiivista tasoa, jota sanotaan myös laajennetuksi euklidiseksi tasoksi. Sillä on huomattava merkitys, paitsi projek­tiivisessa geometriassa, myös algebrallisessa geometriassa ja topologiassa. Sille käytetään eri yhteyksissä muun muassa merkintöjä PG(2, R), RP² tai P₂(R). Yleisemmässä merkityksessä projektiivisella tasolla tarkoitetaan mitä tahansa struktuuria, joka toteuttaa jäljempänä esitetyssä määritelmässä asetetut ehdot. Sellaisia on reaalisen projektiivisen tason lisäksi useita muitakin, sekä äärettömiä kuten kompleksinen projektiivinen taso että äärellisiä kuten Fanon taso.

Projektiivinen taso on kaksi­ulotteinen projektiivinen avaruus, mutta kaikkia projektiivisia tasoja ei voida upottaa kolmi­ulotteiseen projektiiviseen avaruuteen. Tämä upotusominaisuus seuraa Desarguesin lauseesta.

Määritelmä

Projektiivinen taso muodostuu joukosta pisteitä, joukosta suoria sekä pisteiden ja suorien välisestä relaatiosta, jota sanotaan insidenssiksi,, joille seuraavat ehdot ovat voimassa:

1. Mitkä tahansa kahta eri pistettä kohti on olemassa tasan yksi suora, joka on insidentti molempien kautta.
2. Mitä tahansa kahta eri suoraa kohti on olemassa tasan yksi piste, joka on insidentti molempien kautta.
3. On olemassa neljä sellaista pistettä, että mikään suora ei ole insidentti niistä useamman kuin kahden kanssa.

Toinen ehto merkitsee, että ei ole yhdensuuntaisia suoria. Viimeinen ehto sulkee pois niin sanotut degeneroituneet. Termiä "insidenssi" käytetään pisteiden ja suorien välisen relaation symmetrisen luonteen korostamiseen. Tämän vuoksi projek­tiivisessa geometriassa käytetään yleensä ilmaisua "piste P on insidentti suoran l kanssa", vaikka tällä itse asiassa tarkoitetaan, että "piste P on suoralla l" tai "suora l kulkee pisteen P kautta", mutta

Esimerkkejä

Reaalinen projektiivinen taso

Tavanomainen euklidinen taso voidaan laajentaa projektiiviseksi tasoksi seuraavasti:

1. Jokaista yhdensuuntaisten suorien luokkaa kohti lisätään yksi piste. Tämän pisteen katsotaan olevan insidentti jokaisen tähän luokkaan kuuluvan suoran kanssa. Erisuuntaisia suoria kohti lisätään eri pisteet. Näitä pisteitä sanotaan äärettömyydessä oleviksi pisteiksi.
2. Lisätään suora, joka katsotaan insidentiksi jokaisen äärettömyydessä olevan pisteen ja vain niiden kanssa. Tätä suoraa sanotaan äärettömyydessä olevaksi suoraksi.

Tätä laajennettua rakennetta sanotaan laajennetuksi euklidiseksi tasoksi tai reaaliseksi projektiiviseksi tasoksi. Edellä kuvattua menetelmää sen muodostamiseksi sanotaan "projektiiviseksi täydennykseksi" tai projektivisioinniksi.

Esimerkki äärellisestä projektiivista tasosta

Muuan esimerkki äärellisestä projektiivisesta tasosta käsittää kolmetoista pistettä ja kolmetoista suoraa. Pisteille käytetään merkintöjä P₁,...,P₁₃ ja suorille m₁,...,m₁₃. Insidenssi­relaation määrittelee seuraava taulukko. Taulukon rivit merkitsevät pisteitä ja sarakkeet suoria. Ykkönen ("1") rivillä i ja sarakkeessa j merkitsee, että piste P_i on suoralla m_j, kun taas tyhjä ruutu merkitsee, että piste ei ole kyseisellä suoralla (eli piste ja suora eivät ole insidentit). Taulukko on esitetty Paige-Wezlerin normaali­muodossa.

	m1	m2	m3	m4	m5	m6	m7	m8	m9	m10	m11	m12	m13
P1	1	1	1	1
P2	1				1	1	1
P3	1							1	1	1
P4	1										1	1	1
P5		1			1			1			1
P6		1				1			1			1
P7		1					1			1			1
P8			1		1				1				1
P9			1			1				1	1
P10			1				1	1				1
P11				1	1					1		1
P12				1		1		1					1
P13				1			1		1		1

Sen osoittamiseksi, että tämä toteuttaa projektiivisen tason ehdot, tarvitsee vain todeta, että jokaisella kahden rivin muodostamaa paria kohti on yksi ja vain yksi yhteinen sarake, jolla merkintä "1" esiintyy kummallakin rivillä, ja että jokaista kahden sarakkeen muodostamaa paria kohti on yksi ja vain yksi yhteinen rivi, jolla merkintä "1" esiintyy kummallakin sarakkeella. Taulukosta voidaan myös valita useita neljän pisteiden joukkoja, esimerkiksi P₁,P₄,P₅ ja P₈, jotka toteuttavat kolmannen ehdon. Tätä esimerkkiä sanotaan kertaluvun 3 projektiiviseksi tasoksi.

Fanon taso

Fanon taso

Yksin­kertaisin projektiivinen taso on Fanon taso, jossa on vain seitsemän pistettä ja seitsemän suoraa. Sitä esittää oheinen kaavio, jossa mustat kiekot tarkoittavat tason seitsemää pisteitä, kuusi janaa ja ympyrä tason seitsemää suoraa.

Konstruktio vektoriavaruuden avulla

Reaalisen projektiivisen tason äärettömyydessä oleva suora näyttää olevan luonteeltaan täysin erilainen kuin tason muut suorat. Näin ei geometrisesti kuitenkaan ole. Sama projektiivinen taso voidaan konstruoida toisellakin tavalla, joka osoittaa, ettei mikään suora ole erikois­asemassa muihin verrattuna. Tässä konstruktiossa reaalisen projektiivisen tason "pisteet" vastaavat suoria, jotka kulkevat kolmi­ulotteisen euklidisen avaruuden origon kautta, ja projektiivisen avaruuden "suoria" vastaavat niitä kolmiulotteisen avaruuden tasoja, joihin origo sisältyy. Tämä idea voidaan yleistää ja täsmentää seuraavasti.

Olkoon K mikä tahansa jakorengas (vinokunta). Merkitään kaikkien tämän jakorenkaan alkoiden muodostamien kolmikoiden (x = (x₀, x₁, x₂) joukkoa K³:lla. K³ on siis karteesinen tulo käsitettynä vektori­avaruudeksi. Jokaiselle K³ alkiolle x, nolla-alkiota (0, 0, 0) lukuun ottamatta, määritellään origon ja x:n kautta kulkeva suora K³:n osajoukkona seuraavasti:

$\{kx:k\in K\}$

Oletetaan, että x ja y ovat K³:n lineaarisesti riippumattomia alkioita, toisin sanoen nille pätee, että kx + ly = 0 vain jos k = l = 0. Samaan tapaan edellisen kanssa määritellään origon, xn ja y:n kautta kulkeva taso K³:n osajoukkona

Tämä taso sisältää useita origon kautta kulkevia suoria, jotka saadaan kiinnittämällä k ja l ja ottamalla mukaan tuloksena saatujen vektorien monikerrat. Mitkä tahansa luvut k ja l, joiden suhde on sama, vastaavat samaa suoraa.

Projektiivinen taso K:n yli, jota merkitään PG(2,K) tai KP², sisältää pisteinään kaikki K³:n origon kautta kulkevat suorat (jokainen niistä on yksiulotteinen vektorialiavaruus). PG(2, K):n osajoukko L on suora PG(2,K'):ssa, jos K³:ssa on taso, jonka suorien joukko on sama kuin L (kaksiulotteinen vektorialiavaruus).

Että tämä konstruktio tuottaa projektiivisen tason, todistetaan usein lineaarialgebrassa harjoitus­tehtävänä.

Vaihtoehtoisesti tämä konstruktio voidaan tulkita algebrallisesti seuraavasti. Projektiivisen tason pisteet ovat ekvivalenssirelaation "x ~ kx kaikilla K^×:n pisteillä k" määrittelemiä ekvivalenssi­luokkia joukossa K³ ∖ {(0, 0, 0)}. Projektiivisen tason suorat määritellään aivan samoin kuin edellä.

Projektiivisen avaruuden PG (2, K) pisteen koordinaatteja (x₀, x₁, x₂) sanotaan homogeenisiksi koordi­naateiksi. Jokainen kolmikko (x₀, x₁, x₂) vastaa jotakin avaruuden PG(2,K) pistettä, paitsi kolmikko (0, 0, 0), joka ei vastaa mitään pistettä. Jokaista PG(2,K):n pistettä kohti on kuitenkin useita tällaisia kolmikoita.

Jos K is a topologinen avaruus, voidaan KP²:n topologia määritellä tulotopologiana, aliavaruuden topologiana tai tekijätopologiana.

Klassisia esimerkkejä

Reaalinen projektiivinen taso $\mathbb {R}$P² saadaan, kun jakorenkaaksi K valitaan reaalilukujen kunta $\mathbb {R}$. Suljettuna, epäorientoituvana 2-monistona sitä käytetään topologiassa perustavana esimerkkinä.

Tarkastellaan tässä konstruktiossa origo­keskeistä yksikkö­palloa kolmi­ulotteisessa avaruudessa $\mathbb {R} ^{3}$:ssa. Tässä konstruktiossa jokainen avaruuden $\mathbb {R} ^{3}$ suora leikkaa pallo­pinnan kahdessa vastakkaisessa pisteessä, jotka ovat toistensa antipodeja. Koska avaruuden $\mathbb {R} ^{3}$ suora vastaa projektiivisen tason $\mathbb {R}$P² pistettä, saadaan $\mathbb {R}$P²:lle sama malli samastamalla pallo­pinnan anti­podiset pisteet keskenään. $\mathbb {R}$P²:n suoria ovat pallopinnan isoympyrät, joissa vastakkaiset pisteet on samastettu. Tämä kuvaus on samalla elliptisen geometrian standardi malli.

Kompleksinen projektiivinen taso $\mathbb {C}$P² saadaan, kun jako­renkaaksi K valitaan kompleksilukujen kunta $\mathbb {C}$. Se on suljettu kompleksinen 2-monisto ja näin ollen suljettu, orientoituva 4-monisto. Se samoin kuin muita kuntia vastaavat projektiiviset tasot ovat perustavia esimerkkejä algebrallisessa geo­metriassa.

Myös kvaternioiden jakorenkaan $\mathbb {H}$ yli voidaan vastaavalla tavalla muodostaa projektiivinen taso $\mathbb {H}$P².

Tasot äärellitsen renkaiden yli

Wedderburnin lauseen mukaan äärelliset jakorenkaat ovat kommutatiivisia ja näin ollen kuntia. Niinpä äärellisten jako­renkaiden yli muodostettuja projektiivisia tasoja sanotaan "kuntatasoiksi". Jos K on äärellinen kunta, jossa on q = pⁿ alkiota, missä p on alkuluku, saadussa projektiivisessa tasossa on q² + q + 1 pistettä. Näille kunta­tasoille käytetään yleensä merkintää PG(2,q), missä PG tulee sanoista projektiivinen taso, 2 on ulottuvuus ja q tason kerta­luku, joka on yhtä pienempi kuin pisteiden lukumäärä millä tahansa suoralla. Edellä mainittua Fanon tasoa merkitään täten PG(2,2), kun taas ylempänä mainittu 13 pisteen taso on PG(2,3).

Desarguesin lause ja Desarguesin tasot

Desarguesin lause pätee projektiivisilla tasoilla, jos ja vain jos taso voidaan konstruoida kolmi­ulotteisena vektori­avaruutena jonkin jakorenkaan eli vinokunnan yli. Näitä tasoja sanotaan Desarguesin tasoiksi Girard Desarguesin mukaan. Reaalinen ja kompeksinen projektiivinen taso sekä edellä mainittu kertaluvun 3 projektiivinen taso ovat Desarguesin tasoja. On kuitenkin myös projektiivisia tasoja, joita ei voida näin konstruoida ja jotka näin ollen eivät ole Desarguesin tasoja. Sellainen on esimerkiksi Moultonin taso. Merkintä PG(2,K) on varattu Desarguesin tasoille.

Aiheesta muualla

• Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Projektiivinen taso Wikimedia Commonsissa