Poncelet'n lause

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Geometriassa Poncelet'n lause sanoo seuraavaa: Olkoon C ja D kaksi kartioleikkausta. Jos on mahdollista löytää annetulle n>2 yksi n-kulmio, joka on C:n sisäänpiirretty ja D:n ympäripiirretty monikulmio, samanlaisia n-kulmioita voidaan löytää äärettömän monta.

Poncelet'n lause voidaan todistaa elliptisten käyrien avulla. Geometrisesti elliptinen käyrä tulee esittää C:n kaksoispeitteenä, jolla on neljä haaraumapistettä. (Huomaa, että C on isomorfinen projektiivisen suoran kanssa.) Vastaava haarauma otetaan yli niiden neljän C:n pisteen kautta, jossa kartioleikkaukset leikkaavat. Neljän pisteen olemassaolo seuraa Bézout'n lauseesta. Elliptistä käyrää voidaan myös ajatella D:n kaksoispeitteenä. Tässä tapauksessa haarauma otetaan yli neljän bitangentin pisteen kautta, jotka koskettaa käyrää.