Poincarén epäyhtälö

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Poincarén epäyhtälö on syntynyt Sobolev-avaruuksien teorian tuloksena ja nimetty ranskalaisen matemaatikon Henri Poincarén mukaan. Epäyhtälön avulla voidaan selvittää funktion rajat käyttämällä sen derivaattojen rajoja ja määrittelyjoukon geometriaa. Mainitut rajat ovat erittäin merkittäviä nykyaikaisen variaatiolaskennan menetelmissä.

Epäyhtälön määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Oletetaan, että 1 \leq p \leq \infty, \Omega on prekompakti joukon \mathbb{R}^n avoin osajoukko Lipschitzin reunalla (so. \Omega on avoin, rajoitettu Lipschitz-joukko). Silloin on olemassa vakio C>0 riippuen ainoastaan \Omega:sta ja p:stä siten, että kaikille u \in W^{1, p} (\Omega)

\| u - u_{\Omega} \|_{L^{p} (\Omega)} \leq C \| \nabla u \|_{L^{p} (\Omega)},

missä

u_{\Omega} = \frac{1}{|\Omega|} \int_{\Omega} u(y) \, \mathrm{d} y

on keskiarvo u yli \Omega:n.

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.