Kulmakerroin

Janan kulmakerroin määritellään y-koordinaatin muutoksen ja x-koordinaatin muutoksen suhteena: k = Δy / Δx.

Kulmakerroin on matematiikassa kaksiulotteisessa koordinaatistossa y-koordinaatin muutoksen Δy ja sitä vastaavan x-koordinaatin muutoksen Δx suhde, jonka tarkoitus on kuvata suoran kaltevuutta. Kulmakerrointa merkitään k:lla, ja se voi olla mikä tahansa reaaliluku. Kulmakerroin on keskeinen käsite analyyttisessä geometriassa, algebrassa, trigonometriassa ja differentiaalilaskennassa.

Tekniikassa kulmakerrointa käytetään yleisesti erilaisten pintojen kaltevuuden ilmaisemiseen. Esimerkiksi tien tai rautatien pituuskaltevuus on kulmakerroin: 35 promillen kaltevuus merkitsee 35 metrin nousua yhtä vaakasuuntaista kilometriä kohti. Tällä tavoin ilmoitetaan myös rinteen jyrkkyys urheilussa. Rakentamisessa luiskien, kattojen, lattioiden ym. kaltevuus ilmoitetaan usein kulmakertoimena, joko prosentteina tai suhdelukuna. Lattioiden ym. kaltevuutta kutsutaan myös kaadoksi. Hydrologiassa tarkastellaan virtavesien pituuskaltevuutta.

Kulmakertoimen määritelmä

Suoran kulmakerroin määritellään kahden minkä tahansa suoralla olevan pisteen avulla. Pisteiden (x₁, y₁) ja (x₂, y₂), kun x₁ ei ole x₂, kautta kulkevan suoran kulmakerroin on

$k={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.$

• Jos suoran k > 0, suora on nouseva.
• Jos suoran k < 0, suora on laskeva.
• Jos suoran k = 0, suora on x-akselin suuntainen eli vaakasuora.
• Jos suoran k on määrittelemätön eli jos x₁ = x₂, suora on y-akselin suuntainen eli pystysuora.
• Jos kahden suoran kulmakertoimet ovat yhtäsuuret tai jos suorat ovat pystysuoria, suorat ovat yhdensuuntaiset.
• Jos kahden suoran kulmakertoimien tulo on −1 tai jos toinen suora on pystysuora ja toinen vaakasuora, suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Esimerkki

Suora ja sen normaali

Lasketaan pisteiden (2,3) ja (8,7) kautta kulkevan suoran kulmakerroin

$k={\frac {7-3}{8-2}}={\frac {4}{6}}={\frac {2}{3}}$

Suora on nouseva (koska k > 0).

Suoran normaali

Suoran normaali on suora, joka kulkee 90° asteen kulmassa suoran läpi. Näiden kahden suoran kulmakertoimet ovat toistensa käänteislukujen vastaluvut.

Edellä olevan esimerkin suoran normaalin kulmakerroin on siis $-{\frac {3}{2}}$.

Geometria

Mitä suurempi suoran kulmakerroin on, sitä jyrkemmin suora nousee ylöspäin. Suoran kaltevuutta voidaan kuvata myös suuntakulmalla α, joka on suoran ja positiivisen x-akselin muodostama välillä ]−90°, 90°] oleva kulma. Suoran kulmakerroin on yhtä suuri kuin suoran suuntakulman tangentti eli

$k=\tan \,\alpha$

ja

$\alpha =\arctan \,k.$

Kun suuntakulma on pieni, on kulmakerroin likimäärin yhtä suuri kuin kulma radiaaneina.

Algebra

Lineaarisen eli ensimmäisen asteen funktion ratkaistusta muodosta

$y=kx+b\,$

nähdään suoran kulmakerroin k ja vakiotermi b, joka ilmoittaa suoran ja y-akselin leikkauspisteen (0, b).

Jos suoran kulmakerroin on k ja suoran piste on (x₀, y₀), suoran yhtälö on

$y-y_{0}=k(x-x_{0})\,.$

Differentiaalilaskenta

Funktion derivaatta jossakin pisteessä $x_{0}$ on funktion muodostamaa käyrää sivuavan tangentin kulmakerroin kohdassa $x_{0}$.

Kirjallisuutta

• Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).