Pistemääräfunktio

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Matemaattisessa tilastotieteessä pistemääräfunktioksi kutsutaan uskottavuusfunktion L(\theta; X) logaritmin derivaattaa. Pistemääräfunktio ilmaisee uskottavuusfunktion riippuvuutta parametrista \theta.

Ratkaisemalla pistemääräfunktion nollakohta voidaan laskea parametrin \theta suurimman uskottavuuden estimaatti.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon otos X ja sen uskottavuusfunktio L(\theta; X). Tällöin pistemääräfunktio V voidaan löytää ketjusäännön avulla:


V \equiv V(\theta, X)
=
\frac{\partial}{\partial\theta} \log L(\theta;X)
=
\frac{1}{L(\theta;X)} \frac{\partial L(\theta;X)}{\partial\theta}.

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Keskiarvo[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pistemääräfunktion V odotusarvo havainnoilla x, parametrilla \theta on nolla. Tämä voidaan havaita kirjoittamalla uskottavuusfunktio L(\theta; x) = f(x; \theta) tiheysfunktiona,

\mathbb{E}(V|\theta) =  \int_{x=-\infty}^{+\infty} \left ( \frac{\partial}{\partial\theta} \log f(x;\theta)
\right ) f(x; \theta) dx = \int_{x=-\infty}^{+\infty}
 \frac{\frac{\partial f(x; \theta)}{\partial \theta}}{f(x; \theta)} f(x; \theta)dx

mikäli oletetaan että derivoinnin ja integroinnin järjestys voidaan vaihtaa (katso Leibnizin integraalisääntö), niin integraali voidaan yksinkertaistaa muotoon:

\mathbb{E}(V|\theta) =
\int_{x=-\infty}^{+\infty} \frac{\partial f(x; \theta)}{\partial \theta} \, dx =
\frac{\partial}{\partial\theta} \int_{x=-\infty}^{+\infty}
 f(x; \theta) \, dx =
\frac{\partial}{\partial\theta}1 = 0.

Varianssi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pistemääräfunktion varianssia kutsutaan Fisher-informaatioksi ja sitä merkitään \mathcal I(\theta). Koska pistemääräfunktion odotusarvo on nolla, voidaan Fisher-informaatio esittää muodossa:


\mathcal{I}(\theta)
=
\mathbb{E}
\left\{\left.
 \left[
  \frac{\partial}{\partial\theta} \log L(\theta;X)
 \right]^2
\right|\theta\right\}.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Cox, D.R., Hinkley, D.V. (1974) Theoretical Statistics, Chapman & Hall. ISBN 0-412-12420-3
  • Schervish, Mark J. (1995). Theory of Statistics. New York: Springer, kappale 2.3.1. ISBN 0-387-94546-6.