Pii (vakio)

Wikipedia

Kun ympyrän halkaisija on 1, ympyrän piiri on pii.

Luku pii (merkitään pienellä kreikkalaisella π-kirjaimella) on matemaattinen vakio, joka esiintyy monilla matematiikan ja fysiikan alueilla. Se tunnetaan myös nimillä Arkhimedeen vakio ja (erityisesti saksankielisellä alueella) Ludolfin luku.

Piin likiarvo katkaistuna 30 desimaalin jälkeen on $3,141592653589793238462643383279$ .

Määritelmän mukaan pii on yhtä kuin ympyrän kehän suhde halkaisijaan (euklidisessa geometriassa). Vaihtoehtoisesti pii voidaan määritellä r-säteisen ympyrän pinta-alan suhteena r-sivuisen neliön pinta-alaan: $\frac{\pi r^2}{r^2} = \pi$ . Joissain analyysin kirjoissa pii määritellään pienimmäksi posiitiiviseksi luvuksi $x$ , jolle $sin(x) = 0$ .

Eukleideen Alkeet-teoksen luvussa XII todistetaan, että kahden ympyrän alan suhde on sama kuin niiden halkaisijoiden neliöiden suhde. Tästä seuraa, että ympyrän pinta-ala on vakio (= π / 4) kertaa sen halkaisijan neliö. Pii on irrationaaliluku eli luku, jonka desimaalikehitelmä on päättymätön ja jaksoton. Ferdinand Lindemann todisti vuonna 1882 piin olevan transsendenttiluku, eli luku, joka ei ole minkään rationaalilukukertoimisen polynomin nollakohta.

[muokkaa] Piin historia

Koska pii on transsendenttiluku, sitä ei voi esittää päättyvänä lausekkeena peruslaskutoimituksia, potenssiinkorotusta ja juurenottoa käyttäen. Sitä on kuitenkin kauan arvioitu likimääräisesti. Vanhan testamentin Kuningasten kirjassa (1. Kun. 7:23) $π$ on 3: "Hiram valoi myös pyöreän altaan, jota kutsuttiin mereksi. Se oli reunasta reunaan kymmenen kyynärän levyinen, korkeutta sillä oli viisi kyynärää, ja vasta kolmenkymmenen kyynärän pituinen mittanuora ulottui sen ympäri". (Tätä selkeää virhettä on selitetty sillä, että halkaisijan arvona on käytetty astian sisämittaa.)

Ensimmäisiä säällisiä säilyneitä $π$ :n likiarvoja on egyptiläisen matemaatikko Ahmosen käyttämä. Se on säilynyt laskutehtävissä, jotka sisältyvät niin sanotuttuun Rhindin papyrukseen. Sen mukaan ympyrän pinta-ala on yhtä suuri kuin sellaisen neliön, jonka sivu on 8/9 ympyrän halkaisijasta. Tämä vastaa $π$ :n likiarvoa 256/81 eli noin 3,16. Noin 2000 vuotta ennen ajanlaskun alkua babylonialaiset otaksuivat, että $π$ on joko 3 tai $\frac{25}{8}$ . Myös likiarvo $\frac{22}{7}$ on tiedetty pitkään.

Kreikkalainen Ptolemaios käytti $π$ :n arvoa $\frac{377}{120}$ . Kreikkalainen filosofi ja matemaatikko Arkhimedes laski ympyrän kehän ja halkaisijan suhteen jo kolmen desimaalin tarkkuudella. Kiinalainen Tsi Ch'ung-Chi löysi 400-luvulla $π$ :lle arvon $\frac{355}{113}$ , jota parempi murtolukuarvio on vasta $\frac{103993}{33102}$ . Luku $π$ todistettiin irrationaaliluvuksi 1700-luvulla.

Piin voi esittää päättymättömänä sarjana. Eräs varhainen ja yksinkertainen tapa määritellä pii sarjana on Gottfried Leibnizin kehittämä Gregory–Leibniz-sarja:

$\pi = \frac{4}{1}-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}\cdots\,$

Tämä sarja suppenee kuitenkin liian hitaasti, jotta sitä kannattaisi käyttää piin likiarvojen laskemiseen. Siitä olisi laskettava yli 300 ensimmäistä termiä, jotta saataisiin edes kaksidesimaalinen likiarvo 3,14. Vuonna 1706 John Machin todisti kuitenkin seuraavan yhtälön:

$\frac{\pi}{4} = 4 \, \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239}\!$

Koska arkustangentin Taylorin sarjakehitelmä on

$\arctan \, x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots\!$

saatiin tästä piille nopeasti suppeneva ja käyttökelpoinen sarjakehitelmä:

$\frac{\pi}{4} = 4 - \frac{4}{3 \cdot 5^3} + \frac{4}{5 \cdot 5^5} - \frac{4}{7 \cdot 5^7} + .... - \frac{1}{239} + \frac{1}{3 \cdot 239^3} - \frac{1}{5 \cdot 239^5} + \frac{1}{7 \cdot 239^7} - ...$

Machin itse laski tällä kaavalla piin 100 desimaalin tarkkuudella, ja myöhemminkin tätä sarjaa on paljon käytetty yhä tarkempien likiarvojen laskemiseen.

1900-luvulla pii tunnettiin jo yli miljardin desimaalin tarkkuudella, ja nykyään siitä tiedetään ensimmäiset noin 1,24 triljoonaa desimaalia.^lähde? 1990-luvulla kehitettiin tapoja laskea piin desimaaleja (heksadesimaalijärjestelmässä) ilman, että aiempia desimaaleja tarvitsi tietää.

[muokkaa] Katso myös

Luettelo piin laskukaavoista

[muokkaa] Kirjallisuutta

Beckmann, Petr: π: Erään luvun tarina. (A history of π, 1971.) Suomentanut Hannele Salminen. Helsinki: Terra Cognita, 2000. ISBN 952-5202-28-3.

[muokkaa] Aiheesta muualla

[1] Gutenberg-projektin teksti, jossa on ensimmäiset 10 miljoonaa desimaalia
[2] Google-hakemisto: π
PiFastilla voi itse laskea piin ja muiden vakioiden arvoja erittäin tarkasti
Pi-memory
[3] Pii-laskin
Pii-muistipeli - 50000 ensimmäistä desimaalia

Pii (vakio)

Wikipedia

Sisällysluettelo

[muokkaa] Piin historia

[muokkaa] Katso myös

[muokkaa] Kirjallisuutta

[muokkaa] Aiheesta muualla

Näkymät

Henkilökohtaiset työkalut

Haku

Valikko

Osallistuminen

Työkalut

Muilla kielillä