Pienin yhteinen jaettava

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Kahden tai useamman kokonaisluvun pienin yhteinen jaettava, p.y.j., on matematiikassa pienin kokonaisluku, joka on tasan jaollinen kyseessä olevilla luvuilla. Käytännössä p.y.j. ilmaantuu esimerkiksi murtolukujen yhteen- ja vähennyslaskussa (ks. esimerkki alla). Se on mahdollista määrätä jakamalla luvut alkutekijöihinsä ja kertomalla niiden tekijöiden korkeimmat potenssit.

Formaalisti kahden luonnollisen luvun a ja b pienin yhteinen jaettava, pyj(a,b) = m, on pienin sellainen luku, jota kohti on olemassa sellaiset luonnolliset luvut n_a ja n_b, että

n_a \cdot a = n_b \cdot b = m.

Siis jos

a = p_1^{a_1}p_2^{a_2} \cdot\cdot\cdot p_n^{a_n}
b = p_1^{b_1}p_2^{b_2} \cdot\cdot\cdot p_n^{b_n} ,

missä p_i on i:s alkuluku ja jos p_i ei ole luvun tekijä, sitä vastaava eksponentti a_i tai b_i on nolla, saadaan pyj-kaavaksi

\operatorname{pyj}(a,b) = p_1^{\max(a_1,b_1)}p_2^{\max(a_2,b_2)} \cdot\cdot\cdot p_n^{\max(a_n,b_n)}


Esimerkki:

  • Lukujen 18 ja 20 p.y.j.
18 = 2 \cdot 3^2
20 = 2^2 \cdot 5
\operatorname{pyj}(18,20) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 180.

Huomaa, että \frac{180}{18} = 10 ja \frac{180}{20} = 9, eli pyj on jaollinen luvuilla 18 ja 20. Lisäksi jos joku luku on jaollinen sekä 18 että 20, se on jaollinen luvulla 180. Esimerkiksi 18 · 20 = 360 = 2 · 180

---

  • Lukujen 26 ja 28 p.y.j.
26 = 2 \cdot 13
28 = 2^2 \cdot 7
\operatorname{pyj}(26,28) = 2^2 \cdot 7 \cdot 13 = 364

---

  • Pienintä yhteistä jaettavaa voidaan hyödyntää murtolukujen yhteenlaskussa.
\frac{1}{18} + \frac{1}{20}

Lasketaan ensin pyj(18,20) = 180. Lavennetaan tämän jälkeen murtoluvut samannimisiksi, eli että kummankin nimittäjä on 180. Kerroin saadaan jakamalla pyj nimittäjällä: 180/18=10, 180/20=9.

\frac{1}{18} + \frac{1}{20} = \frac{10}{180} + \frac{9}{180} = \frac{19}{180}

Voidaan osoittaa, että luonnollisille luvuille n ja p pätee:

n \cdot p = \operatorname{syt}(n,p) \cdot \operatorname{pyj}(n,p)

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]