Picardin lause

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Picardin lause tarkoittaa kahta funktioteoriassa Charles Émile Picardin mukaan nimettyä analyyttisiä funktioita koskevaa lausetta.

Lauseiden väittämät[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ensimmäinen lause, josta käytetään toisinaan nimeä "Picardin pieni lause", sanoo, että jos funktio f(z) on kokonainen eikä ole vakio, niin tällöin f(z):n saa kaikki kompleksiset arvot mahdollisesti yhtä lukuun ottamatta.

Picardin toisen lauseen mukaan (Picardin suuri lause) jos analyyttisellä funktiolla f(z) on oleellinen singulariteetti pisteessä w, on kaikissa w:n sisältävissä avoimissa joukoissa voimassa, että f(z) saa kaikki kompleksiset arvot mahdollisesti yhtä lukuun ottamatta. Tämä on vahvempi tulos kuin Weierstrassin–Casoratin lause, joka takaa vain, että f:n kuvajoukko on tiheä kompleksitasossa.

Picardin-Lindelöfin lause on nimetty Picardin ja Ernst Lindelöfin mukaan.

Huomaa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Tämä 'yksi poikkeus' on tarpeellinen: Eksponenttifunktio ez on kokonainen, mutta ei saa arvoa nolla, ja toisaalta e1/z:llä on oleellinen singulariteetti origossa, mutta se ei saa arvoa nolla.
  • Picardin pieni lause seuraa suuresta, sillä kokonainen funktio on joko polynomi tai sillä on oleellinen singulariteetti äärettömyydessä.
  • B. Elsner (Ann. Inst. Fourier 49-1 (1999) s. 330) on otaksunut samantapaisen konjektuurin kuin "Picardin suuri lause": Olkoon D-\{0\} punkteerattu yksikkökiekko kompleksitasossa ja olkoon U_1,U_2, . . . ,U_n D-\{0\}:n äärellinen avoin peite. Oletetaan, että jokaisella U_j on olemassa injektiivinen holomorfinen funktio f_j, jolle df_j = df_k jokaisella leikkauksella U_jnU_k. Tällöin differentiaalit liimautuvat yhteen meromorfiseksi 1-differentiaalimuodoksi yksikkökiekossa D. (Erikoistapaus, jossa residy on nolla, seuraa Picardin lauseesta.)

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • John B. Conway: Functions of One Complex Variable I, 2nd edition, Springer, 1978