Osittaisfunktio

Osittaisfunktio on funktion $\mathbf{}f :A\to B$ yleistys, joka liittää jokaiseen lähtöjoukon $\mathbf{}A$ alkioon $\mathbf{}a$ enintään yhden maalijoukon $\mathbf{}B$ alkion, jota merkitään $\mathbf{}f(a)$, jos tämä $\mathbf{}a$:n liitettävä alkio on olemassa. Kyseessä on siis tavallisen funktion yleistys, sillä tavallinen funktio liittää jokaiseen joukon $\mathbf{}A$ alkioon $\mathbf{}a$ tarkalleen yhden joukon $\mathbf{}B$ alkion $\mathbf{}f(a)$, mutta funktion osittaisuus sallii sen, että joillakin $\mathbf{}A$:n alkioilla $\mathbf{}a$ tällaista siihen $\mathbf{}f$-liitettävää $\mathbf{}B$-joukon alkiota ei ole. ("liitettäviä on nyt yhden sijaan nolla kappaletta.") Tällaisilla alkioilla $\mathbf{}a$ sanotaan, että $\mathbf{}f(a)$ ei ole määritelty, ja toisinaan tämä ilmoitetaan merkinnällä

$\mathbf f(a)=\uparrow$.

Niitä joukon $\mathbf{}A$ alkioita, joilla $\mathbf{} f(a)$ on määritelty, kutsutaan yhdessä funktion $\mathbf{} f$ määrittelyjoukoksi, jota voidaan merkitä esimerkiksi symbolilla $\mathbf{}A^{'}$. Tavallisilla funktioilla $\mathbf{}A^{'}=A$ eli määrittelyjoukko ja lähtöjoukko yhtyvät, mutta yleensä $\mathbf{}A^{'}\subset A$ eli määrittelyjoukko on pienempi ja sallittua on myös sekin, että $\mathbf{}A^{'}=\emptyset$ eli $\mathbf{}f(a)$ ei ole määritelty missään joukon $\mathbf{}A$ pisteessä.

Esimerkkejä

1)

Funktio $\mathbf{}f: \{a,b,c,d\}\to \{x,y,z\}$, joka on määritelty niin, että $\mathbf{}f(a)=\uparrow ,f(b)=x, f(c)=z$ ja $\mathbf{}f(d)=\uparrow$ eli arvoilla $\mathbf{}a$ ja $\mathbf{}d$ funktio $\mathbf{}f$ ei ole määritelty.

2)

Funktio $\mathbf{}f: \mathbb{N}\to \mathbb{N}$, missä $\mathbf{}f(n)=\sqrt{n}$, on määritelty tarkalleen silloin, kun $\mathbf{}n$ on neliö eli kuuluu joukkoon $\mathbf{}\{0^2, 1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2,\cdots \}$, sillä tarkalleen tällöin neliöjuuri kuuluu luonnollisten lukujen joukkoon, joka on nyt otettu maalijoukoksi.

3)

Laskennan teoriassa funktioita lasketaan Turingin koneella niin, että syötteellä $\mathbf{}n$ kone suoritettuaan äärellisen määrän laskenta-askelia kirjoittaa tulosteen, joka määritellään käytetyn Turingin koneen määräämän funktion $\mathbf{}f(n)$-arvoksi. Kuitenkin useilla Turingin koneilla käy niin, että joillakin syötteillä alkanut laskenta ei pysähdy koskaan, tuloste jää näin saamatta ja $\mathbf{}f(n)$ jää siis määrittelemättömäksi kyseisellä koneella näillä syötteillä.