Operaattori (matematiikka)

Matemaattinen operaattori on funktio, joka muuntaa toista funktiota. Operaattorilla voi olla miten monta tahansa operoitavaa kohdetta, jolle se suorittaa toimintonsa, mutta useimmiten kohteita on vain yksi.

Määritelmä

Operaattori on siis muunnoslaki, joka muuntaa funktion uudeksi funktioksi. Jos merkitään tutkittavaa operaattoria symbolilla $\scriptstyle {\hat {A}}$ ja operoidaan sillä funktiota $\scriptstyle f(x)$, niin saadaan uusi funktio $\scriptstyle g(x)$. Tämä voidaan ilmaista muodossa $\scriptstyle {\hat {A}}f(x)=g(x)$.

Operaattori vai funktio?

Operaattoreita käytetään yleensä reaalilukuja monimutkaisempiin matemaattisiin kokonaisuuksiin, kuten vektoreihin, satunnaismuuttujiin ja matemaattisiin lausekkeisiin. Jos funktion lähtö- tai määrittelyjoukon rakenne on reaalilukua huomattavasti monimutkaisempi, se määritellään useimmiten operaattoriksi. Vastaavasti, jos funktion lähtö- ja maalijoukot ovat reaalilukuja, kutsutaan sitä vain funktioksi. Esimerkkinä tämänlaisesta monimutkaisten matemaattisten kokonaisuuksien operoimiseen ovat derivaatta- $\scriptstyle ''{\frac {d}{dx}}~''$ ja integraalioperaattorit $\scriptstyle ''\int dx''$.

Lisäksi, funktiota kutsutaan operaattoriksi, jos sitä käytetään usein tai sen merkintätapa on nopeampi kuin funktion yleinen muoto $F(x,y,x...)$. Esimerkkejä tällaisesta tapauksesta ovat summaoperaattori $''+''$, jako-operaattori $''/''$ ja kertomaoperaattori $''!''$. Näiden käyttö ei välttämättä liity monimutkaisten matemaattisten kokonaisuuksien laskemiseen.

Esimerkkejä matemaattisista operaattoreista

Lineaarioperaattorit

Lineaarisia operaattoreita käytetään lineaariavaruuksissa summaamaan vektoreita ja kertomaan skalaareilla.

Todennäköisyysteorian operaattorit

Todennäköisyyslaskentaan liittyviä operaattoreita ovat mm. odotusarvo, varianssi ja kertoma.

Differentiaali- ja integraalioperaattorit

• Derivaatta kuvaa operoitavan funktion muutosnopeutta jonkin muuttujan sutheen.

• Integraali on derivaatan käänteisoperaattori.

• Gradientti on kuin derivaatta tai osittaisderivaatta, mutta sillä operoidaan erikseen eri muuttujien suhteen.

• Divergenssi on gradientin ja operoitavan vektorikentän pistetulo.

Kirjallisuutta

• Jalava, Väinö: Moderni analyysi II. 25, 165 sivua. Tampere: TTKK, 1977. ISBN 951-720-250-4.