Noetherin teoreema

Noetherin (ensimmäinen) teoreema sanoo, että jokaiseen fysikaalisen systeemin aktion differentioituvaan symmetriaan liittyy jokin sitä vastaava säilymislaki. Teoreeman todisti saksalainen matemaatikko Emmy Noether vuonna 1915, ja se julkaistiin vuonna 1918. Fysikaalisen systeemin aktio on jonkin sellaisen Langrangen funktion aikaintegraali, jonka avulla systeemin käyttäytyminen voidaan määrittää vähimmän vaikutuksen peri­aatteen avulla. Tällainen Lagrangen funktio itsessään voi olla jonkin Lagrangen tiheysfunktion integraali jonkin avaruuden alueen yli.

Noetherin teoreemasta on tullut perustava työväline nykyisessä teoreettisessa fysiikassa ja variaatiolaskennassa. Se on Lagrangen mekaniikan (vuodelta 1788) ja Hamiltonin mekaniikan (vuodelta 1833) liikevakioiden muotoilun yleistys, eikä se päde systeemeille, joita ei voida mallintaa pelkästään Lagrangen funktiolla, toisin sanoen systeemeillä, joihin liittyy Rayleighin dissipaatiofunktio. Erityisesti häviöllisiin systeemeihin, joilla on jatkuvia symmetrioita, ei välttämättä liity vastaavaa säilymis­lakia.

Esimerkkejä ja tausta

Noetherin teoreeman merkityksen selventämiseksi voidaan esimerkkinä mainita, että jos fysikaalinen systeemi käyttäytyy samalla tavalla riippumatta siitä, miten päin se on suunnattu avaruudessa, sen Lagrangen funktio on rotaatio­symmetrinen. Tästä symmetriasta seuraa Noetherin teoreeman mukaan, että systeemin liikelait ovat sellaiset, että liikemäärämomentti säilyy. Fysikaalisen systeemin itsessään ei tarvitse olla symmetrinen: epä­säännöllisenkin muotoisen asteroidin liike­määrä­momentti säilyy sen liikkuessa avaruudessa, vaikka se kappaleena ei ole symmetrinen — symmetrisiä ovat sen liikelait, ei itse kappale.

Toisena esimerkkinä voidaan mainita, että jos fysikaalisen prosessin tulokset ovat samat riippumatta sen paikasta ja ajasta, tapahtuipa se esimerkiksi Aasiassa tiistaina tai Amerikassa perjantaina, sen Lagrangen funktio on symmetrinen avaruudessa ja ajassa tapahtuvien siirtojen eli translaatioiden suhteen. Noetherin teoreeman mukaan näistä symmetrioista seuraavat vastaavasti liikemäärän säilymislaki ja energian säilymislaki.

Noetherin teoreema on merkittävä sekä sen näkemyksen vuoksi, jonka se antaa säilymislakeihin, että myös käytännöllisenä laskuvälineenä. Se tekee tutkijoille mahdolliseksi määrittää fysikaaliseen systeemiin liittyvät säilyvät suureet (invariantit) sen havaituista symmetrioista. Toisaalta se tekee myös mahdolliseksi käsitellä kokonaisia hypoteettisten Lagrangen funktioiden luokkaa annettujen invarianttien avulla fysikaalisen systeemin kuvaamiseksi. Kuvitellaan esimerkiksi, että löydettäisiin uusi kenttä, jossa jokin suure X säilyy. Noetherin teoreeman avulla voidaan määrittää, minkä tyyppisissä Lagrangen funktioissa X säilyy jatkuvassa symmetrisessä muunnoksessa, minkä niiden soveltuvuus voidaan arvioida muiden kriteerien perusteella.

Noetherin teoreemasta on olemassa monia versoita, joiden yleisyyden aste vaihtelee. Alkuperäinen versio koski vain tavallisia differentiaaliyhtälöitä (hiukkasia), ei osittaisdifferentiaaliyhtälöitä (kenttiä). Alkuperäisissä versioissa oletetaan myös, että Lagrangen funktio riippuu vain ensimmäisestä derivaatasta, kun taas myöhemmissä versioissa teoreema on yleistetty sellaisiinkin Lagrangen funktioihin, jotka riippuvat n:nnestä derivaatasta. Teoreemalle on olemassa luonnollisia kvantti­teoreettisia vastineita, jotka ilmaisee Ward-Takahashin identiteetti. On olemassa myös Noetherin teoreeman yleistyksiä super­avaruuteen.

Teoreeman epämuodollinen ilmaisu

Jättäen tekniset hienoudet sivuun Noetherin teoreema voidaan ilmaista epämuodollisesti.

»Jos systeemillä on jatkuva symmetriaominaisuus, on olemassa sitä vastaava suure, jonka arvo säilyy ajan kuluessa. »

Teoreeman täsmällisempi, kenttiin perustuva versio kuuluu:

»Jokaista differentiaalista, paikallisten vaikutusten generoimaa symmetriaa vastaa jokin säilyvä virta.»

Tässä sana "symmetria" viittaa täsmällisemmin sanottuna sen muodon kovarianssiin, jonka fysikaalinen laki saa tietyt tekniset kriteerit täyttävien muunnosten muodostamassa yksiulotteisessa Lien ryhmässä. Fysikaalisten suureiden säilymislait ilmaistaan tavallisesti jatkuvina yhtälöinä.

Teoreeman muodollisessa todistuksessa invarianssi­ehtoja käytetään lausekkeen muodostamiseksi virtaukselle, joka liittyy säilyvään fysikaaliseen suureeseen. Viime aikoina, suunnilleen vuodesta 1980 lähtien on tullut tavaksi nimittää säilyvää suuretta "Noetherin varaukseksi" ja sitä kuljettavaa virtausta "Noetherin virraksi". Noetherin virta määritellään solenoidiseksi vektorikentäksi, jonka divergenssi on 0.

Gravitaation tapauksessa Felix Klein on ilmaissut Noetherin teoreeman aktiolle I invarianttien avulla seuraavasti:

»Jos integraali I on invariantti jatkuvan ryhmän G_ρ suhteen ρ parametrilla, Lagrangen lausekkeella on ρ lineaarisesti riippumatonta komponenttia, jotka ovat divergenssejä.»

Historiallinen tausta

Fysikaaliset säilymis­lait sanovat, että systeemin kehityksen matemaattisessa kuvauksessa jokin suure X pysyy vakiona ajan kuluessa eli se on invariantti. Matemaattisesti X:n muutos­nopeus eli sen derivaatta ajan suhteen on nolla:

${\frac {dX}{dt}}=0~.$

Sellaisten suureiden sanotaan säilyvän. Niitä sanotaan usein liikevakioiksi, vaikka ne eivät välttämättä liity liikkeeseen vaan voivat muullakin tavoin kuvata systeemin kehitystä ajan kuluessa. Esimerkiksi jos jonkin systeemin energia säilyy, sen energia on koko ajan yhtä suuri, mikä asettaa rajoituksia systeemin liikkeelle, ja tätä voidaan käyttää hyväksi systeemin kehitystä ennustettaessa. Sen lisäksi, millaisen näkemyksen tällaiset liike­vakiot antavat systeemin luonteesta, ne ovat hyödyllisiä laskennallisia apu­välineitä; esi­merkiksi liki­määräinen ratkaisu voidaan korjata löytämällä lähin tila, joka toteuttaa asiaan kuuluvat säilymislait.

Ensimmäiset tunnetut liikevakiot olivat liikemäärä ja energia, joita ehdottivat sellaisiksi 1600-luvulla törmäyskokeiden perusteella René Descartes ja Gottfried Leibniz ja joiden säilymisen ovat myöhemmät tutkijat vahvistaneet. Isaac Newton oli ensimmäinen, joka esitti liikemäärän säilymislain nykyisessä muodossa ja osoitti, että se on seuraus Newtonin kolmannesta laista eli voiman ja vasta­voiman laista. Yleisen suhteellisuus­teorian mukaan liikemäärän, energian ja liike­määrä­momentin säilymis­lait pitävät tarkkaan ottaen paikkansa vain, jos ne ilmaistaan jännitys-energia-tensorin (gravitaatioon liittymätön jännitys ja energia) sekä jännitys-energia-liikemäärä-pseudotensorin (gravitaatioon liittyvä jännitys-energia) avulla. Sen, että gravitaatioon liittymätön liike­määrä ja energia säilyvät vapaasti putoavassa vertailu­järjestelmässä, ilmaisee se seikka, että jännitys-energia-tensorin kovariantti divergenssi on nolla. Taivaan­mekaniikassa tärkeisiin säilyviin suureisiin kuuluu myös Laplacen-Rungen-Lenzin vektori.

Fyysikot kehittivät 1700-luvun lopulla ja 1800-luvun alussa järjestelmällisempiä keinoja invarianttien löytämiseksi. Suurta edistys­askelta merkitsi vuonna 1788 kehitetty Lagrangen mekaniikka, joka liittyy vähimmän vaikutuksen peri­aatteseen. Tässä lähestymis­tavassa systeemin tilaa voidaan kuvata millä tahansa yleisetyillä koordinaateilla q: liikelakeja ei tällöin tarvitse välttämättä esittää karteesi­silla koordi­naateilla, kuten Newtonin mekaniikassa oli tapana. Aktio eli vaikutus määritellään Lagrangen funktion L integraalina ajan suhteen

$I=\int L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)\,dt~,$

missä pilkku q:n yläpuolella merkitsee koordinaattien q muutosnopeutta ajan suhteen.

${\dot {\mathbf {q} }}={\frac {d\mathbf {q} }{dt}}~.$

Hamiltonin periaate ilmoittaa, että systeemin todellinen liikerata q(t) on sellainen, että radan infinitesimaaliset muutokset eivät aiheuta muutosta aktioon I, ainakaan ensimmäisessä kerta­luvussa. Tämä periaate seuraa Eulerin-Lagrangen yhtälöistä,

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}~.$

Jos siis yksi koordinaateista, esimerkiksi q_k, ei esiinny Lagrangen funktiossa, yhtälön oikea puoli on nolla ja vasemman puolen on oltava

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\right)={\frac {dp_{k}}{dt}}=0~,$

missä liikemäärä

$p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}$

säilyy koko liikkeen ajan.

Jos siis koordinaatti q_k voidaan pitää merki­tyksettö­mänä ja se puuttuu Lagrangen funktiosta, viimeksi mainittuun ei vaikuta q_k:n muutokset. Lagrangen funktio on tällöin invariantti ja sillä sanotaan olevan fysikaalinen symmetria sellaisissa muutoksissa. Noetherin teoreema sai alkunsa tämän ajatuksen yleistyksenä.

Vaihtoehtoisia menetelmiä säilyvien suureiden löytämiseksi kehitti 1800-luvulla varsinkin William Rowan Hamilton. Hän kehitti esimerkiksi kanonisten muunnosten teorian, joka teki mahdolliseksi muuttaa koordinaatistoa siten, että jokin koordinaatti hävisi Lagrangen funktiosta, mistä edellisen mukaan seuraa kanonisen liikemäärän säilyminen. Toinen, mahdollisesti tehokkain tapa säilyvien suureiden löytämiseksi perustuu Hamiltonin-Jacobin-yhtälöön.

Matemaattinen muotoilu

Yksinkertaisin muoto häiriöiden avulla

Noetherin teoreema on perusidealtaan edellä kuvatun mitättömän pienten koordinaattien poisjättämisen yleistys.

Oletetaan, että edellä määritelty aktio I on invariantti aikamuuttujan pienissä häiriöissä (käyristymisissä ja yleistetyt koordinaatit q fysiikassa yleisesti käytetyillä merkintätavoilla,

$t\rightarrow t^{\prime }=t+\delta t$

$\mathbf {q} \rightarrow \mathbf {q} ^{\prime }=\mathbf {q} +\delta \mathbf {q} ~,$

missä häiriöt dt and dq ovat molemmat pieniä mutta muuttuvia. Yleisemmin oletetaan, että aktiolla on vaikkapa N sellaista symmetria­muunnosta, toisin sanoen muunnosta, jotka jättävät aktion ennalleen, ja käytetään niille indeksiä r = 1, 2, 3, …, N.

Tällöin häiriöiden yhteis­vaikutus voidaan kirjoittaa kaikkien eri­tyyppisten häiriöiden lineaarisena summana,

$\delta t=\sum _{r}\epsilon _{r}T_{r}\!$

$\delta \mathbf {q} =\sum _{r}\epsilon _{r}\mathbf {Q} _{r}~,$

missä e_r ovat infinitesimaalisia parametrisia kertoimia, joista

• generaattori T_r vastaa ajallista kehitystä
• generaattori Q_r yleistettyjä koordinaatteja.

Yhden­suuntais­siirtojen tapauksessa Q_r on pituuden yksiköissä ilmaistava vakio, rotaatioiden tapauksessa lineaarinen, q:n komponenttien avulla ilmaistava lauseke, ja parametrit muodostavat kulman.

Näiden määritelmien avulla Noether osoitti, että nämä N suuretta

$\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}-L\right)T_{r}-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot \mathbf {Q} _{r}$

säilyvät eli ovat liikevakioita. Niiden dimensiot ovat [energia]·[aika] + [liikemäärä]·[pituus] = [aktio]].

Esimerkkejä

Aikainvarianssi

Esimerkkinä käsitellään Lagrangen funktiota, joka ei riipu ajasta, toisin sanoen se on invariantti (symmetrinen) muunnoksissa t → t + dt, kun koordinaatit q eivät muutu. Tässä tapauksessa N = 1, T = 1 and Q = 0; vastaava säilyvä suure on kokonaisenergia H

$H={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}-L.$

Siirtoinvarianssi

Tarkastellaan Lagrangen funktiota, joka ei riipu (edellä mainitulla tavalla merkityksettömästä) koordinaatista q_k; toisin sanoen se in invariantti (symmetrinen) muunnoksissa q_k → q_k + dq_k. Tässä tapauksessa N = 1, T = 0, and Q_k = 1; säilyvä suure on vastaava liikemäärä p_k

$p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{k}}}}}.$

Erityisessä ja yleisessä suhteellisuus­teoriassa nämä näennäisesti erilliset säilymis­lait ovat saman lain, jännitys-energia-tensorin säilymis­lain, eri ilmenemis­muotoja, Tämä laki johdetaan jäljempänä.

Rotaatioinvarianssi

Liikemäärämonentin L = r × p säilymislaki on analoginen liike­määrän säilymis­laille. Oletetaan, että systeemin Lagrangen funktio on symmetrinen rotaatioiden suhteen, toisin sanoen se ei riipu fysikaalisen systeemin absoluuttisesta suuntautumisesta avaruudessa. Oletetaan, että Lagrangen funktio ei muutu akselin pienissä n kulman δθ suuruisissa rotaatioissa. Tällaisissa rotaatioissa karteesiset koordinaatit muuntuvat yhtälön

$\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\delta \theta \mathbf {n} \times \mathbf {r} .$

mukaisesti. Koska aika ei tässä muutu, on T=0. Pidetään kulmaa δθ parametrina ε ja karteesisia koordinaatteja r yleistettyinä koordinaatteina q; tällöin vastaavat muuttujat Q saadaan lausekkeella

$\mathbf {Q} =\mathbf {n} \times \mathbf {r} .$

Tällöin Noetherin teoreeman mukaan seuraava suure säilyy:

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot \mathbf {Q} _{r}=\mathbf {p} \cdot \left(\mathbf {n} \times \mathbf {r} \right)=\mathbf {n} \cdot \left(\mathbf {r} \times \mathbf {p} \right)=\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} .$

Toisin sanoen liikemäärämomentin L akselin n suuntainen komponentti säilyy.

Jos n on mieli­valtainen, eli systeemiin eivät vaikuta mitkään rotaatiot, L:n kaikki komponentit säilyvät, eli lyhyesti sanottuna liikemäärämomentti säilyy.

Kenttäteoreettinen versio

Vaikka edellä esitetty versio teoreemasta on sellaise­naan­kin käyttö­kelpoinen, se on vain erikois­tapaus Noetherin vuonna 1915 johtamasta yleisemmästä versiosta. Seuraavassa esitetään Noetherin teoreeman versio, joka koskee jatkuvia kenttiä neli­ulotteisessa aika-avaruudessa. Koska modernissa fysiikassa kenttä­teoreettiset probleemat ovat yleisempiä kuin mekaaniset, tämä kenttä­teoreettinen versio on Noetherin teoreeman yleisemmin käytetty versio.

Oletetaan joukko differentioituvia kenttiä φ, jotka on määritelty kaikkialla avaruudessa ja ajassa. Esimerkiksi lämpötilaa T(x, t) voidaan pitää sellaisena kenttänä, sillä se on luku, jolla on tietty arvo jokaisessa paikassa jokaisena aikana. Vähimmän vaikutuksen periaatetta voidaan soveltaa sellaisiin kenttiin, mutta aktio on nyt integraali avaruuden ja ajan yli:

$I=\int L\left({\boldsymbol {\phi }},\partial _{\mu }{\boldsymbol {\phi }},x^{\mu }\right)\,d^{4}x$

(teoreema voidaan itse asiassa yleistää sellaisiin­kin tapauksiin, joissa Lagrangen funktio riippuu n:nnestä derivaatasta.)

Oletetaan, että aktio on riippumaton tietynlaisista avaruus-aika-koordinaattien x^µ muunnoksista ja kentistä φ

$x^{\mu }\rightarrow x^{\mu }+\delta x^{\mu }\!$

${\boldsymbol {\phi }}\rightarrow {\boldsymbol {\phi }}+\delta {\boldsymbol {\phi }}$

missä muunnokset voidaan indeksoida: r = 1, 2, 3, …, N

$\delta x^{\mu }=\epsilon _{r}X_{r}^{\mu }\,$

$\delta {\boldsymbol {\phi }}=\epsilon _{r}{\boldsymbol {\Psi }}_{r}~.$

Tällaisilla systeemeillä on Noetherin teorian mukaan N säilyvää virran­tiheys­suuretta

$j_{r}^{\nu }=-\left({\frac {\partial L}{\partial {\boldsymbol {\phi }}_{,\nu }}}\right)\cdot {\boldsymbol {\Psi }}_{r}+\sum _{\sigma }\left[\left({\frac {\partial L}{\partial {\boldsymbol {\phi }}_{,\nu }}}\right)\cdot {\boldsymbol {\phi }}_{,\sigma }-L\delta _{\sigma }^{\nu }\right]X_{r}^{\sigma }$

Näissä tapauksissa säilymis­lait voidaan ilmaista neli­ulotteisessa muodossa

$\sum _{\nu }{\frac {\partial j^{\nu }}{\partial x^{\nu }}}=0$

joka ilmaisee, että säilyvän suureen määrä pallo­pinnan sisä­puolella ei voi muuttua, ellei sitä virtaa vastaava määrä pallo­pinnan sisä­puolelta ulos tai päin­vastoin. Esimerkiksi sähkövaraus säilyy; varaus­määrä pallo­pinnan sisä­puolella ei voi muuttua, ellei varausta virtaa sieltä ulos tai sinne sisään.

Asian havainnol­lista­miseksi oletetaan kenttien muodostama fysikaalinen systeemi, joka edellä mainitussa mielessä käyttäytyy samoin siirrettäessä sitä ajassa ja paikassa, toisin sanoen $L\left({\boldsymbol {\phi }},\partial _{\mu }{\boldsymbol {\phi }},x^{\mu }\right)$ on vakio kolmannen argumenttinsa suhteen. Siinä tapauksessa N = 4, virran­tiheys­suureita on yksi kutakin paikka­koordinaattia ja aikaa kohti. Koska vain sijainnit ajassa ja paikassa voivat vääristyä, eivät kentät, muuttujat Ψ ovat kaikki nollia ja X_µ^ν on yhtä kuin Kroneckerin delta δ_µ^ν, missä µ:tä on käytetty r:n sijasta indeksinä. Siinä tapauksessa Noetherin teoreema vastaa jännitys-energia-tensorin T_µ^ν säilymislakia:

$T_{\mu }{}^{\nu }=\sum _{\sigma }\left[\left({\frac {\partial L}{\partial {\boldsymbol {\phi }}_{,\nu }}}\right)\cdot {\boldsymbol {\phi }}_{,\sigma }-L\,\delta _{\sigma }^{\nu }\right]\delta _{\mu }^{\sigma }=\left({\frac {\partial L}{\partial {\boldsymbol {\phi }}_{,\nu }}}\right)\cdot {\boldsymbol {\phi }}_{,\mu }-L\,\delta _{\mu }^{\nu }$

Sähkö­varauksen säilyminen sitä vastoin voidaan johtaa olettamalla, että X_µ^ν=0 ja Ψ on lineaarinen kentissä f itsessään. Kvantti­mekaniikassa todennäköisyysamplitudi Ψ(x) sille, että hiukkanen löydetään pisteestä x, on kompleksinen kenttä φ, koska se liittää avaruuden ja ajan jokaiseen pisteeseen kompleksi­luvun. Toden­näköisyys­amplitudia sinänsä ei voida fysikaalisesti mitata, ainoastaan toden­näköisyys p = |Ψ|² voidaan todeta mittaus­sarjan perusteella, Sen vuoksi systeemi on invariantti sellaisten kentän Ψ ja sen kompleksikonjugaattikentän Ψ^* muunnosten suhteen, joissa lausekkeen |Ψ|² arvo ei muutu, kuten kompleksisessa rotaatiossa

$\psi \rightarrow e^{i\theta }\psi \ ,\ \psi ^{*}\rightarrow e^{-i\theta }\psi ^{*}~,$.

Raja­tapauksessa, kun vaihe θ tulee infini­tesi­maalisen pieneksi, δθ, sitä voidaan pitää parametrina ε, kun taas Ψ on sama kuin vastaavasti iψ and -iψ*. Erityisenä esi­merkkinä voidaan mainita Kleinin-Gordonin yhtälö, suhteellisuus­teorian mukaisesti korjattu versio Schrödingerin yhtälöstä spinittömille hiukkasille, missä Lagrangen funktion tiheys on

$L=\psi _{,\nu }\psi _{,\mu }^{*}\eta ^{\nu \mu }+m^{2}\psi \psi ^{*}.$

Tässä tapauksessa Noetherin teoreemasta seuraa, että säilyvä virta (∂·j = 0) on yhtä kuin

$j^{\nu }=i\left({\frac {\partial \psi }{\partial x^{\mu }}}\psi ^{*}-{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x^{\mu }}}\psi \right)\eta ^{\nu \mu }~,$.

Kun tämä kerrotaan kyseisen hiukkaslajin varauksena, saadaan tämän hiukkas­tyypin aikaansaama sähköinen virrantiheys. Tähän "riippumattomuuteen mitta­kentästä" kiinnitti ensimmäisenä huomiota Hermann Weyl, ja se on yksi fysiikan mitta­kenttä­symmetrioiden proto­tyypeistä.

Teoreeman johtaminen

Yksi riippumaton muuttuja

Tarkastellaan yksinkertaista tapausta, systeemiä, jossa on vain yksi riippumaton muuttuja, aika. Oleteteaan, että riippuvat muuttujat q ovat sellaisia, että aktio integraalina

$I=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L[\mathbf {q} [t],{\dot {\mathbf {q} }}[t],t]\,dt$

on invariantti lyhyissä infinitesimaalisissa riippuvien muuttujien vaihteluissa. Toisin sanoen ne toteuttavat Eulerin-Lagrangen liikeyhtälöt

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}[t]={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}[t].$

Oletetaan lisäksi, että integraali on invariantti jossakin jatkuvassa symmetriassa. Matemaattisesti sellaista symmetriaa kuvaa jokin virtaus φ, joka vaikuttaa muuttujiin seuraavasti:

$t\rightarrow t'=t+\epsilon T\!$

$\mathbf {q} [t]\rightarrow \mathbf {q} '[t']=\phi [\mathbf {q} [t],\epsilon ]=\phi [\mathbf {q} [t'-\epsilon T],\epsilon ]$

missä ε on reaalinen muuttuja, joka ilmaisee virtauksen määrän, ja T reaalinen vakio, joka voi olla myös nolla ja joka ilmaisee, minkä verran virtaus vaikuttaa aikaan.

${\dot {\mathbf {q} }}[t]\rightarrow {\dot {\mathbf {q} }}'[t']={\frac {d}{dt}}\phi [\mathbf {q} [t],\epsilon ]={\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}[\mathbf {q} [t'-\epsilon T],\epsilon ]{\dot {\mathbf {q} }}[t'-\epsilon T].$

Aktiointegraali muuntuu muotoon

${\begin{aligned}I'[\epsilon ]&=\int _{t_{1}+\epsilon T}^{t_{2}+\epsilon T}L[\mathbf {q} '[t'],{\dot {\mathbf {q} }}'[t'],t']\,dt'\\[6pt]&=\int _{t_{1}+\epsilon T}^{t_{2}+\epsilon T}L[\phi [\mathbf {q} [t'-\epsilon T],\epsilon ],{\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}[\mathbf {q} [t'-\epsilon T],\epsilon ]{\dot {\mathbf {q} }}[t'-\epsilon T],t']\,dt'\end{aligned}}$,

mitä voidaan pitää ε:n funktiona. Laskemalla derivaatta, kun ε = 0 ja käyttämällä symmetriaa saadaan

${\begin{aligned}0&={\frac {dI'}{d\epsilon }}[0]=L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]T-L[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T\\[6pt]&{}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}\left(-{\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial \phi }{\partial \epsilon }}\right)+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left(-{\frac {\partial ^{2}\phi }{(\partial \mathbf {q} )^{2}}}{\dot {\mathbf {q} }}^{2}T+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \epsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}-{\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}T\right)\,dt.\end{aligned}}$

On huomattava, että Eulerin-Lagrangen yhtälöistä seuraa

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T\right)&=\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right){\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}\right){\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}\,T\\[6pt]&={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left({\frac {\partial ^{2}\phi }{(\partial \mathbf {q} )^{2}}}{\dot {\mathbf {q} }}\right){\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}\,T.\end{aligned}}$

Sijoittamalla tämä edellisiin yhtälöihin saadaan

${\begin{aligned}0&={\frac {dI'}{d\epsilon }}[0]=L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]T-L[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}]T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}]T\\[6pt]&{}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \phi }{\partial \epsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \epsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}\,dt.\end{aligned}}$

Käyttämällä jälleen Eulerin-Lagrangen yhtälöitä saadaan

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \phi }{\partial \epsilon }}\right)=\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right){\frac {\partial \phi }{\partial \epsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \epsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \phi }{\partial \epsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \epsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}.$

Sijoittamalla tämä edellisiin yhtälöihin saadaan

${\begin{aligned}0&=L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]T-L[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}]T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}]T\\[6pt]&{}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \phi }{\partial \epsilon }}[t_{2}]-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \phi }{\partial \epsilon }}[t_{1}].\end{aligned}}$

Tästä voidaan nähdä, että

$\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}-L\right)T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \phi }{\partial \epsilon }}$

on liikevakio, siis säilyvä suure. Koska φ [q, 0] = q, saadaan ${\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}=1$, ja näin ollen säilyvä suure yksinkertaistuu muotoon

$\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\dot {\mathbf {q} }}-L\right)T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \phi }{\partial \epsilon }}.$

Jotteivät kaavat tulisi liian monimutkaisiksi, tässä johdossa on oletettu, ettei virta muutu ajan kuluessa. Samaan tulokseen päästään kuitenkin myös yleisemmässä tapauksessa.

Kenttäteoreettinen johto

Noetherin teoreema voidaan johtaa myös tensorikentille φ^A missä indeksin A eri arvot tarkoittavat eri tensorikenttien eri komponentteja. Nämä kenttäsuureet ovat neliulotteisessa avaruudessa määriteltyjä funktioita, ja avaruuden pisteitä merkitään koordinaateilla x^µ, missä indeksin µ arvo µ=0 merkitsee aikaa ja arvot µ=1,2,3 kolmea tilaulottuvuutta. Nämä neljä koordinaattia ovat riippumattomat muuttujat ja kenttien arvot kussakin aika-avaruuden pisteessä ovat niistä riippuvia muuttujia. Infinitesimaalisissa muunnoksissa koordinaattien muunnokset voidaan kirjoittaa muodossa

$x^{\mu }\rightarrow \xi ^{\mu }=x^{\mu }+\delta x^{\mu }\!$

kun taas kenttäsuureiden muunnokset ilmaistaan muodossa

${\phi }^{A}\rightarrow \alpha ^{A}(\xi ^{\mu })=\phi ^{A}(x^{\mu })+\delta \phi ^{A}(x^{\mu })\,.$

Tämän määritelmän mukaan δφ^A riippuu kahdesta tekijästä: kentille itsessään ominaisista sisäisistä muutoksista ja koordinaattien muutoksista, sillä muunnettu kenttä α^A riippuu muunnetuista koordinaateista ξ^µ. Sisäisten muutosten eristämiseksi kentän vaihtelu yksittäisessä pisteessä x^µ voidaan määritellä seuraavasti:

$\alpha ^{A}(x^{\mu })=\phi ^{A}(x^{\mu })+{\bar {\delta }}\phi ^{A}(x^{\mu })\,.$

Jos koordinaatteja muutetaan, muuttuu samalla myös sen aika-avaruuden alueen raja, jonka yli Lagrangen funktio integroidaan; alkuperäistä ja muunnettua versiota merkitään Ω ja Ω’.

Noetherin teoreema alkaa oletuksesta, että tietty koordinaattien ja kenttämuuttujien muunnos ei muuta aktiota, joka määritellään Lagrangen funktion tiheyden integraalina tietyn aika-avaruuden alueen yli. Matemaattisesti tämä oletus voidaan kirjoittaa seuraavasti:

$\int _{\Omega ^{\prime }}L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },\xi ^{\mu }\right)d^{4}\xi -\int _{\Omega }L\left(\phi ^{A},{\phi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)d^{4}x=0$

missä muuttujien jälkeen yläpuolelle kirjoitetut pilkut tarkoittavat osittaisderivaattoja niiden koordinaattien suhteen, jotka seuraavat pilkun jälkeen, toisin sanoen

${\phi ^{A}}_{,\sigma }={\frac {\partial \phi ^{A}}{\partial x^{\sigma }}}\,.$

Koska ξ on pelkkä integroimisvakio ja koska rajan Ω muutos oletettiin infinitesimaaliseksi, nämä kaksi integraalia voidaan yhdistää divergenssilauseen neliulotteisen version mukaisesti seuraavaan muotoon:

$\int _{\Omega }\left\{\left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\phi ^{A},{\phi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]+{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left[L\left(\phi ^{A},{\phi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right]\right\}d^{4}x=0\,.$

Lagrangen funktioiden erotus voidaan kirjoittaa ensimmäisessä kertaluvuissa infinitesimaalisilla muutoksilla:

$\left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\phi ^{A},{\phi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]={\frac {\partial L}{\partial \phi ^{A}}}{\bar {\delta }}\phi ^{A}+{\frac {\partial L}{\partial {\phi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}{\phi ^{A}}_{,\sigma }\,.$

Koska nämä muutokset kuitenkin on määritelty samassa edellä selityssä pisteessä, muutokset ja derivoinnit voidaan suorittaa myös päinvastaisessa järjestyksessä; ne kommutoivat:

${\bar {\delta }}{\phi ^{A}}_{,\sigma }={\bar {\delta }}{\frac {\partial \phi ^{A}}{\partial x^{\sigma }}}={\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\bar {\delta }}\phi ^{A}\right)\,.$

Käyttämällä Eulerin-Lagrangen kenttäyhtälöä

${\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\phi ^{A}}_{,\sigma }}}\right)={\frac {\partial L}{\partial \phi ^{A}}}$

Lagrangen funktioiden erotus voidaan kirjoittaa yksinkertaisesti muotoon

$\left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\phi ^{A},{\phi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]={\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\phi ^{A}}_{,\sigma }}}\right){\bar {\delta }}\phi ^{A}+{\frac {\partial L}{\partial {\phi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}{\phi ^{A}}_{,\sigma }={\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\phi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\phi ^{A}\right)\,.$

Näin ollen aktion muutokseksi saadaan

$\int _{\Omega }{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left\{{\frac {\partial L}{\partial {\phi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\phi ^{A}+L\left(\phi ^{A},{\phi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right\}d^{4}x=0\,.$

Koska tämä pätee missä tahansa alueessa Ω, integrandin on oltava nolla

${\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left\{{\frac {\partial L}{\partial {\phi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\phi ^{A}+L\left(\phi ^{A},{\phi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right\}=0\,.$.

Mille tahansa symmetriamuunnosten yhdistelmälle tästä aiheutuva häiriö voidaan kirjoittaa muodossa

$\delta x^{\mu }=\epsilon X^{\mu }\!$

$\delta \phi ^{A}=\epsilon \Psi ^{A}={\bar {\delta }}\phi ^{A}+\epsilon {\mathcal {L}}_{X}\phi ^{A}$

missä ${\mathcal {L}}_{X}\phi ^{A}$ on funktion φ^A Lien derivaatta suunnassa X^µ. Kun φ^A on skalaari tai ${X^{\mu }}_{,\nu }=0\,$,

${\mathcal {L}}_{X}\phi ^{A}={\frac {\partial \phi ^{A}}{\partial x^{\mu }}}X^{\mu }\,.$

Näistä yhtälöistä seuraa, että kentän muutos yhdessä pisteessä on

${\bar {\delta }}\phi ^{A}=\epsilon \Psi ^{A}-\epsilon {\mathcal {L}}_{X}\phi ^{A}\,.$

Differentioimalla tämä divergenssi ε:n suhteen pisteessä ε=0 ja muuttamalla etumerkki saadaan säilymislaki

${\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}j^{\sigma }=0$

missä säilyvä virta on

$j^{\sigma }=\left[{\frac {\partial L}{\partial {\phi ^{A}}_{,\sigma }}}{\mathcal {L}}_{X}\phi ^{A}-L\,X^{\sigma }\right]-\left({\frac {\partial L}{\partial {\phi ^{A}}_{,\sigma }}}\right)\Psi ^{A}\,.$

Esimerkkejä

Esimerkki 1: Energian säilyminen

Käsitellään erikoistapauksena Newtonin fysiikan mukaista hiukkastan jonka massa on m ja paikkakoordinaatit x ja joka liikkuu potentiaalin V vaikutuksesta, jonka koordinatisoi aika t. Aktio S on:

${\begin{aligned}{\mathcal {S}}[x]&=\int L[x(t),{\dot {x}}(t)]\,dt\\&=\int \left({\frac {m}{2}}\sum _{i=1}^{3}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x(t))\right)\,dt.\end{aligned}}$

Ensimmäinen hakasuluissa oleva termi on liike-energia, jälkimmäinen potentiaalienergia. Käsitellään ajan muunnosten generaattoria Q = ∂/∂t. Toisin sanoen $Q[x(t)]={\dot {x}}(t)$. On huomattava, että x riippuu eksplisiittisesti ajasta, kun taas V ei riipu; näin ollen:

$Q[L]=m\sum _{i}{\dot {x}}_{i}{\ddot {x}}_{i}-\sum _{i}{\frac {\partial V(x)}{\partial x_{i}}}{\dot {x}}_{i}={\frac {d}{dt}}\left[{\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x)\right]$

ja voidaan asettaa

$f={\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x).$

Silloin

${\begin{aligned}j&=\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}Q[x_{i}]-f\\&=m\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-\left[{\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x)\right]\\&={\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}+V(x).\end{aligned}}$.

Yhtälön oikea puoli tarkoittaa energiaa, ja Noetherin teoreeman mukaan ${\dot {j}}=0$, toisin sanoen energian säilymisen periaate seuraa invarianssista ajallisten siirtymien suhteen.

Yleisemmin, jos Lagrangen funktio ei eksplisiittisesti riipu ajasta, suure

$\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}{\dot {x_{i}}}-L$,

jota sanotaan Hamiltonin funktioksi, säilyy.

Esimerkki 2: Liikemäärän keskuksen säilyminen

Käsitellään edelleen yksiulotteista aikaa ja olkoon

${\begin{aligned}{\mathcal {S}}[{\vec {x}}]&=\int {\mathcal {L}}[{\vec {x}}(t),{\dot {\vec {x}}}(t)]\,\mathrm {d} t\\&=\int \left[\sum _{\alpha =1}^{N}{\frac {m_{\alpha }}{2}}({\dot {\vec {x}}}_{\alpha })^{2}-\sum _{\alpha <\beta }V_{\alpha \beta }({\vec {x}}_{\beta }-{\vec {x}}_{\alpha })\right]\,\mathrm {d} t\end{aligned}}$

toisin sanoen on N Newtonin fysiikan mukaista hiukkasta systeemissä, jonka potentiaali riippuu vain pareittain hiukkasten suhteellisesta liikkeestä.

Käsitellään ${\vec {Q}}$:lle määriteltyä Galilein muunnosten generaattoria, toisin sanoen vertailu­järjestelmän muutosta. Toisin sanoen

$Q_{i}[x_{\alpha }^{j}(t)]=t\delta _{i}^{j}.\,$

On huomattava, että

${\begin{aligned}Q_{i}[{\mathcal {L}}]&=\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\dot {x}}_{\alpha }^{i}-\sum _{\alpha <\beta }\partial _{i}V_{\alpha \beta }({\vec {x}}_{\beta }-{\vec {x}}_{\alpha })(t-t)\\&=\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\dot {x}}_{\alpha }^{i}.\end{aligned}}$

Tämä on muotoa ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha }^{i}$, joten voidaan asettaa

${\vec {f}}=\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\vec {x}}_{\alpha }.$.

Täten

${\vec {j}}=\sum _{\alpha }\left({\frac {\partial }{\partial {\dot {\vec {x}}}_{\alpha }}}{\mathcal {L}}\right)\cdot {\vec {Q}}[{\vec {x}}_{\alpha }]-{\vec {f}}$

$=\sum _{\alpha }(m_{\alpha }{\dot {\vec {x}}}_{\alpha }t-m_{\alpha }{\vec {x}}_{\alpha })$

$={\vec {P}}t-M{\vec {x}}_{CM}$

missä ${\vec {P}}$ on kokonaisliikemäärä, M kokonaismassa ${\vec {x}}_{CM}$ massakeskipiste. Noetherin teoreeman mukaan

${\dot {\vec {j}}}=0\Rightarrow {\vec {P}}-M{\dot {\vec {x}}}_{CM}=0.$

Sovelluksia

Soveltamalla Noetherin teoreemaa fyysikot saavat tehokkaita näkemyksiä mihin tahansa fysiikan yleiseen teoriaan pelkästään analysoimalla erilaisia muunnoksia, joissa lait pysyvät muodoltaan invariantteina. Niinpä esimerkiksi:

• fysikaalisen systeemin invarianssi avaruudellisten yhdensuuntaissiirtojen suhteen (toisin sanoen se, että fysiikan lait eivät riipu paikasta), johtaa liikemäärän säilymiseen,
• invarianssi rotaatioiden suhteen johtaa liikemäärämomentin säilymiseen, ja
• invarianssi ajan suhteen johtaa tunnettuun energian säilymislakiin.

Noetherin teoreeman kvantti­kenttä­teoreettinen vastine, Wardin-Takahashin identiteetti, johtaa vielä muihin säilymis­lakeihin. Esimerkiksi sähkövarauksen säilyminen seuraa invarianssista varauksellisten hiukkasten kompleksisten kenttien vaihekulman ja siihen liittyvien sähköisen potentiaalin ja vektori­potentiaalin mittojen suhteen.

Noetherin varausta on käytetty myös laskettaessa stationaaristen mustien aukkojen entropiaa.

Lähteet

• Kosmann-Schwarzbach, Yvette: The Noether theorems: Invariance and conservation laws in the twentieth century. Spriner-Verlag, 2010. ISBN 978-0-387-87867-6.
• Olver, Peter: Applications of Lie groups to differential equations, 2. painos. Springer-Verlag, 1993. ISBN 0-387-95000-1.

Kirjallisuutta

• Noether, Emmy & Tavel, Mort (kääntäjä): Invariant Variation Problems. Transport Theory and Statistical Physics, 1971, 1. vsk, nro 3, s. 186–207. (englanniksi)
• Noether, Emmy: Invariante variationenprobleme. Nachr. D. König. Gesellsch. D. Wiss. Zu Göttingen, Math-phys. Klasse, 1918. Artikkelin verkkoversio. (saksaksi)
• Neuenschwander, Dwight E.: Emmy Noether's Wonderful Theorem. Johns Hopkins University Press. ISBN 978-0-8018-9694-1.
• Hanca, J. & Tulejab, S. & Hancova, M.: Symmetries and conservation laws: Consequences of Noether's theorem. American Journal of Physics, 2004, 72. vsk, nro 4, s. 428–435. Artikkelin verkkoversio.
• Montesinos, Ernesto & Flores, Ernesto: Symmetric energy–momentum tensor in Maxwell, Yang–Mills, and Proca theories obtained using only Noether's theorem. Revista Mexicana de Física, 2006, nro 52.
• Sardanashvily: Gauge conservation laws in a general setting. Superpotential. International Journal of Geometric Methods in Modern Physics, 2009, 6. vsk, nro 06.

Aiheesta muualla

• Noether's Theorem MathPages.
• Noether's Theorem in a Nutshell math.ucr.edu.