Noetherin rengas

Noetherin rengas on Emmy Noetherin mukaan nimetty rengas abstraktissa algebrassa, jonka ideaalit toteuttavat nousevan ketjun ehdon. Tämä tarkoittaa seuraavaa: Olkoon annettu nouseva jono ideaaleja

$I_1 \,\subseteq\, I_2 \,\subseteq\, I_3 \,\subseteq\, \cdots.$

Tällöin on olemassa positiivinen kokonaisluku $n$, jolle

$I_n \,=\, I_{n+1} \,=\, I_{n+2} \,=\, \cdots.$

Koska pääideaalialue on rengas, jossa jokainen ideaali on yhden alkion virittämä, on Noetherin renkaat pääideaalialueiden yleistyksiä. Esimerkkejä Noetherin renkaista on polynomirenkaan ja formaalien potenssi­sarjojen rengas ja lineaariset vektori­avaruudet.

Johdanto

Kuntakertoimiset polynomirenkaat toteuttavat eräitä ehtoja. Emmy Noether oli ensimmäinen, joka huomasi, että niiden tärkeä ominaisuus on nousevan ketjun ehto. Sen vuoksi Noetherin renkaat on nimetty hänen mukaansa.

Ei-vaihdannaisissa renkaissa voidaan tarkastella kolmea käsitettä.

• Rengas on vasemmanpuoleinen Noetherin rengas, jos sen vasemmanpuoleiset ideaalit toteuttavat nousevan ketjun ehdon.
• Rengas on oikeanpuoleinen Noetherin rengas, jos sen oikeanpuoleiset ideaalit toteuttavat nousevan ketjun ehdon.
• Rengas on Noetherin rengas, jos se on sekä vasemman- että oikeanpuoleinen Noetherin rengas.

Kommutatiivisessa renkaassa vasemmanpuoleiset Noetherin renkaat ovat oikeanpuoleisia Noetherin renkaita, mutta näin ei ole yleensä epäkommutatiivisessa renkaissa.