Nilpotentti matriisi

Nilpotentti matriisi on sellainen n×n-neliömatriisi, että jollakin kokonaisluvulla q

$A^q = O\,$,

missä $O$ on nollamatriisi. Esimerkiksi matriisi

$N = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$

on nilpotentti, sillä $N^4 = O$.

Ominaisuuksia

Nilpotentilla n×n-matriisilla M on seuraavat ominaisuudet:

1. Pienin kokonaisluku q, jolla $M^q = O$ on pienempi tai yhtä suuri kuin n.
2. Matriisi M on nilpotentti jos ja vain jos sen kaikki ominaisarvot ovat nollia.
3. Matriisin M karakteristinen polynomi on $\lambda^n$.
4. Sekä matriisin M jälki että sen determinantti ovat nollia.

Lisäksi

• Jokainen kolmiomatriisi, jonka päälävistäjän alkiot ovat nollia on nilpotentti.

Katso myös

• Idempotentti matriisi