Nilpotentti

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Matematiikassa renkaan R alkiota x kutsutaan nilpotentiksi, jos on olemassa joku positiivinen kokonaisluku n siten, että xn = 0.

Amerikkalainen matemaatikko Benjamin Peirce [1] otti termin käyttöön algebran alkiosta, jokin katoaa kun se korotetaan tiettyyn potenssiin.selvennä

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Tätä määritelmää voidaan soveltaa tietynlaisille neliömatriiseille. Matriisi
A = \begin{pmatrix}
0&1&0\\
0&0&1\\
0&0&0\end{pmatrix}
on nilpotentti, koska A3 = 0. Katso lisää: nilpotentti matriisi.
  • Tekijärenkaassa Z/9Z 3 ekvivalenssiluokka on nilpotentti, koska 32 on kongruentti 0 modulo 9.
  • Oletetaan, että ei-vaihdannaisessa renkaassa on kaksi alkiota a, b, jotka toteuttavat ab = 0. Tällöin alkio c = ba on nilpotentti (jos ei nolla), kun c2 = (ba)2 = b(ab)a = 0. Esimerkki tällaisista matriiseista:
A = \begin{pmatrix}
0&1\\
0&1
\end{pmatrix}, \;\;

B =\begin{pmatrix}
0&1\\
0&0
\end{pmatrix}.
Tässä AB = 0, BA = B.
  • Kokvaternioiden rengas sisältää nilpotenttikartion

Ominaisuudet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yhdelläkään nilpotentilla alkiolla ei voi olla käänteisalkiota (paitsi triviaali rengas {0}, joka on ainoastaan yksi alkio 0=1). Kaikki nollasta eroavat nilpotentti alkiot ovat nollajakajia.

n x n matriisi A, jossa kunnan alkiot on nilpontetti, jos ja vain jos sen karakteristinen polynomi on tn.

Jos x on nilpotentti, niin silloin 1 - x on olemassa käänteisalkio, koska xn = 0 edellyttää, että

(1 - x) (1 + x + x^2 + \cdots + x^{n-1}) = 1 - x^n = 1

Yleisemmin, summa käänteisalkiosta ja nilpotenttialkioista on renkaan ykkösalkio, kun ne kommutoivat.

Vaihdannainen rengas[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Vaihdannaisen renkaan R nilpotentit alkiot muodostavat ideaalin \mathfrak{N}; tämä seuraa binomilauseesta. Tätä ideaali \mathfrak{N} kutsutaan renkaan nilradikaaliksi. Jokainen vaihdannaisen renkaan nilpotenttialkio x kuluu jokaiseen renkaan alkuideaaliin \mathfrak{p}, koska x^n=0\in \mathfrak{p}. Joten \mathfrak{N} sisältyy kaikkien alkuideaalien leikkaukseen.

Jos x ei ole nilpotentti, voimme lokalisoida x:t potenssien mukaan: x: S=\{1,x,x^2,...\} saadaan nollasta poikkeava rengas S^{-1}R. Lokaalisessa renkaassa alkualkioita vastaa täsmälleen ne \mathfrak{p}, jotka toteuttaa \mathfrak{p}\cap S=\empty[2]. Koska jokaisella vaihdannaisella ei-triviaalilla renkaalla on maksimaalinen alkuideaali, niin jos x ei ole nilpotentti niin x ei kuulu \mathfrak{p}, jollakin R:n alkuideaalilla \mathfrak{p}. Siksi \mathfrak{N} on täsmälleen kaikkien alkuideaalien leikkaus[3].

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Polcino & Sehgal (2002), s. 127.
  2. Matsumura, Hideyuki (1970). "Chapter 1: Elementary Results", Commutative Algebra. W. A. Benjamin, 6. ISBN 978-0-805-37025-6. 
  3. (February 21, 1994) "Chapter 1: Rings and Ideals", Introduction to Commutative Algebra. Westview Press, 5. ISBN 978-0-201-40751-8. 
Käännös suomeksi
Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja vieraskielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli: en:Nilpotent