Nakajaman lemma

Nakajaman lemma on kuuluisa kommutatiivisen algebran äärellisviritteisia moduleja koskeva tulos.

Olkoon $(A,m)$ lokaali rengas ja $M$ äärellisviritteinen $A$-moduli. Tällöin ehdosta $M=mM$ seuraa $M=O$. Yleisemmin sama pätee jos ehdosta $M=IM$ seuraa $M=O$, missä $I$ on $M$:n ideaali, jolle $(1+I)\subset A^\times$. Nakajaman lemmassa $A$:n äärellisviritteisyys on oleellista: Esimerkiksi olkoon $A=\mathbb{Z}_{(5)}\subset \mathbb{Q}$ lokaali rengas. Selvästi $\mathbb{Q}=5\mathbb{Q}$, mutta $\mathbb{Q}\ne 0$, sillä $\mathbb{Q}=\sum_{i=0}^\infty A\cdot 5^{-i}$ ei ole äärellisviritteinen $A$:n suhteen.

Viitteet

• http://at.yorku.ca/cgi-bin/bbqa?forum=ask_an_algebraist;task=show_msg;msg=4030.0001
• Miles Reid: Undergraduate Commutative Algebra