Muirheadin epäyhtälö

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Matematiikassa Muirheadin epäyhtälö yleistää aritmeettisen ja geometrisen keskiarvon välisen epäyhtälön. Sen mukaan jos reaaliluvuille


a_1\geq a_2 \geq \cdots \geq a_n
b_1\geq b_2 \geq \cdots \geq b_n

on voimassa

a_1 \leq b_1
a_1+a_2 \leq b_1+b_2
a_1+a_2+a_3 \leq b_1+b_2+b_3
\qquad\vdots\qquad\vdots\qquad\vdots\qquad\vdots
a_1+\cdots +a_{n-1} \leq b_1+\cdots+b_{n-1}
a_1+\cdots +a_n=b_1+\cdots+b_n,

niin tällöin

\sum_\sigma x_{\sigma_1}^{a_1}\cdots x_{\sigma_n}^{a_n}\leq \sum_\sigma x_{\sigma_1}^{b_1}\cdots x_{\sigma_n}^{b_n}, missä σ käy läpi kaikki lukujen 1,...,n permutaatiot.

Proschan ja Seutherman ovat yleistäneet Muirheadin epäyhtälön muotoon

\sum_\sigma f(\sigma_1,a_1)\cdots f(\sigma_n,a_n)\geq \sum_\sigma f(\sigma_1,b_1)\cdots f(\sigma_n,b_n),

missä f on logaritmisesti konveksi funktio x:n suhteen.

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.