Moduli (algebra)

Abstraktissa algebrassa käsite moduli on yleinen yleistys kahdesta tärkeästä algebrallisesta rakenteesta, vektoriavaruudesta ja Abelin ryhmästä.

Motivointi

Vektoriavaruudessa skalaarit muodostavat kunnan ja toimii vektoreiden skalaarikertolaskun avulla. Kertolasku toteuttaa tietyt laskutoimituslait, esimerkiksi osittelulait. Modulissa riittää, että skalaarit muodostavat renkaan, joten moduli on merkittävä yleistys vektoriavaruudesta.

Moduleiden teoria perustuu paljolti siihen, että vektoriavaruuden teoria on yleistetty moduleille. Siinä on koetettu siirtää vektoriavaruuksia koskevat tulokset renkaiden, esimerkiksi pääideaalirenkaan päälle. Tästä huolimatta modulit voivat olla hieman monimutkaisempia kuin vektoriavaruudet. Esimerkiksi kaikilla moduleilla ei ole kantaa ja vaikka olisikin, niin vapaat modulit käyttäytyvät joiltain osin merkittävästi eri lailla kuin vektoriavaruudet.

Modulit ovat keskeinen käsite kommutatiivisessa algebrassa, joka taas on tärkeä matematiikan osa-alue esimerkiksi:

• algebrallisessa geometriassa
• homologisessa algebrassa ja algebrallisessa topologiassa
• ryhmien esitysteoriassa.

Määritelmä

Renkaan R vasen moduli eli vasemmanpuolinen moduli sisältää Abelin ryhmän (M,+) ja skalaarikertolaskun R × M → M, jota merkitään rx, missä r kuuluu R:ään ja x kuuluu M:ään siten, että kaikilla R:n alkioilla r,s ja M:n alkioilla x,y on voimassa

1. r(x+y) = rx+ry
2. (r+s)x = rx+sx
3. (rs)x = r(sx)
4. 1x = x

Tätä voidaan myös sanoa M:n vasemmaksi R-moduliksi tai _RM. Oikeanpuolisessa modulissa ehto 3. korvataan ehdolla (sr)x = r(sx).

Toisin kuin tässä artikkelissa oletetaan, kirjallisuudessa ei aina vaadita renkaiden olevan ykkösellisiä. Tällöin myöskään moduliehtojen ehtoa 4 ei tietenkään vaadita. Jos modulissa on kuitenkin yksikköalkio, sanotaan, että moduli on ykkösellinen.

Bimoduli on moduli joka on sekä vasen, että oikea moduli. Jos rengas R on kommutatiivinen, on vasen R-moduli sama kuin oikea R-moduli. Tällöin molempia moduleita kutsutaan yksinkertaisesti nimellä R-moduli.

Esimerkkejä

• Jos K on kunta, ovat K-modulit ja K-vektoriavaruudet sama asia.
• Z-modulit ja Abelin ryhmät vastaavat toisiaan. Tämä tarkoittaa sitä, että jokainen Abelin ryhmä on kokonaislukujen Z renkaan moduli yksikäsitteisellä tavalla. Olkoon n > 0 ja nx = x + x + ... + x (n summattavaa), 0x = 0, ja (−n)x = −(nx).
• Jos R on mielivaltainen rengas ja n on luonnollinen luku, on karteesinen tulo Rⁿ sekä R:n vasen, että oikea moduli, missä laskutoimitukset määritellään komponenteittain. Tapaus n=0 on triviaali R-moduli {0}, jossa on vain neutraalialkio. Tällöin moduli on vapaa ja luku n on vapaan modulin aste.
• Jos X on sileä monisto, sileät funktiot X:ltä reaaliluvuille muodostavat renkaan C^∞(X). Kaikkien X:n sileiden vektorikenttien joukko muodostaa modulin avaruudessa C^∞(X), kuten myös tensorikentät ja differentiaalimuodot.
• Reaalikertoimiset nxn-matriisit muodostavat renkaan R ja euklidinen avaruus Rⁿ on tämän renkaan suhteen vasen moduli, missä modulin laskutoimitus on määritelty matriisikertolaskun avulla.
• Jos R on mielivaltainen rengas ja I on mielivaltainen R:n ideaali, on I R:n vasen moduli. Vastaavasti voidaan määritellä oikea moduli.

Katso myös

• Vektoriavaruus

Lähteet

• F.W. Anderson and K.R. Fuller: Rings and Categories of Modules, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 13, 2 nd Ed., Springer-Verlag, New York, 1992, ISBN 0-387-97845-3, ISBN 3-540-97845-3

Kirjallisuutta

• Häsä, Jokke; Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0.