Metrinen tensori

Metrinen tensori eli perustensori on avaruutta kuvaava symmetrinen tensori, joka kertoo kuinka etäisyydet kyseisessä avaruudessa tulee mitata. Se on siis avaruuden metriikan esitys. Jos avaruuden metrinen tensori tunnetaan, tunnetaan koko avaruuden geometria. Metrisellä tensorilla on aina kaksi indeksiä, mistä syystä se voidaan esittää matriisimuodossa.

Mielivaltaisessa avaruudessa etäisyys kahden pisteen $a$ ja $b$ välillä saadaan käyränpituuden kaavasta

$L = \int_a^b \sqrt{ g_{ij}{dx^i\over dt}{dx^j\over dt}}dt \$,

missä on käytetty Einsteinin summaussääntöä. Käyränpituuden kaavassa esiintyvät kertoimet $g_{ij}$ ovat avaruuden metrisen tensorin komponentit. Metrinen tensori on symmetrinen, eli

$g_{ij} = g_{ji}\,$.

Jos metriikka antaa mille tahansa kahdelle pisteelle aina etäisyyden, joka on positiivinen (tai nolla), metriikan sanotaan olevan positiividefiniitti ja tällöin puhutaan Riemannin metriikasta. Jos etäisyys voi olla myös negatiivinen, kyseessä on pseudo-Riemannin metriikka. Jälkimmäisiä tulee vastaan esimerkiksi suhteellisuusteoriassa (ajanluonteiset pinnat).

Jos avaruuden koordinaatisto voidaan lausua karteesisten koordinaattien avulla, metrisen tensorin laskeminen on helppoa Jacobin matriisin avulla. Jos $J\,$ on koordinaatistomuunnosta vastaava Jacobin matriisi ja $J^{T}\,$ sen transpoosi, metrinen tensori

$g = J^{T}J\,$.

Metrisen tensorin avulla mikä tahansa differentiaalinen etäisyys $ds$ voidaan Einsteinin summaussääntöä käyttäen kirjoittaa

$ds^2 = g_{\mu \nu} dx^{\mu} dx^{\nu}\,$.

Erityisesti jos tensorin kaikki nollasta eroavat komponentit ovat diagonaalilla, tämä on sama kuin

$ds^2 = g_{11} dx^1 dx^1 + g_{22} dx^2 dx^2 + g_{33} dx^3 dx^3 + \ldots \,$

Tilanteessa, jossa $g$ on euklidinen metriikka (ks. esimerkit alla) tämä vastaa täsmälleen Pythagoraan lausetta, kuten tietysti pitääkin.

Esimerkki metrisen tensorin määrittämisestä

Kaksiulotteisessa napakoordinaatistossa

$x = r \cos\theta\,$

$y = r \sin\theta\,$

Tätä vastaava Jacobin matriisi on

$J = \begin{bmatrix}\cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta\end{bmatrix}$

joten napakoordinaatiston metriseksi tensoriksi saadaan

$g = J^T J = \begin{bmatrix}\cos^2\theta+\sin^2\theta & -r\sin\theta \cos\theta + r\sin\theta\cos\theta \\ -r\cos\theta\sin\theta + r\cos\theta\sin\theta & r^2 \sin^2\theta + r^2\cos^2\theta\end{bmatrix}$

joka sievenee muotoon

$g=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & r^2\end{bmatrix} \$.

Esimerkkejä eri avaruuksien metrisistä tensoreista

• Kolmiulotteisella euklidisella avaruudella on yksinkertaisin mahdollinen metriikka

$g = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \$.

• Neliulotteinen Minkowskin avaruuden metriikka on laakea, muttei positiividefiniitti

$g = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \$.

Joskus tässä etumerkit valitaan toisin päin, eli aikakoordinaattia vastaava alkio $g_{00} = 1$ ja paikkakoordinaatit $g_{11} = g_{22} = g_{33} = -1$. Valinnalla ei periaatteessa ole merkitystä.

• Vakiosäteisen pallon pinta muodostaa kaksiulotteisen avaruuden, jonka koordinaatit ovat $(\theta, \phi)$ ja jota vastaava metriikka on

$g = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \sin^2 \theta\end{bmatrix}$.

Pallon pinta on yksinkertainen esimerkki kaarevasta avaruudesta.

• Yleisessä suhteellisuusteoriasssa vastaan tuleva Schwartzschildin metriikka

$g = \begin{bmatrix} -(1-\frac{2GM}{rc^2}) & 0 & 0 & 0\\ 0 & (1-\frac{2GM}{r c^2})^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & r^2 \sin^2 \theta \end{bmatrix} \$

kuvaa avaruutta minkä tahansa $M$-massaisen pallonmuotoisen kappaleen (vaikkapa tähden tai planeetan) ympärillä. Sen tunnetuin ominaisuus on mustan aukon mahdollisuus.