Metrinen tensori

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Metrinen tensori eli perustensori on avaruutta kuvaava symmetrinen[1] tensori, joka kertoo kuinka etäisyydet kyseisessä avaruudessa tulee mitata.[2] Se on siis avaruuden metriikan esitys. Jos avaruuden metrinen tensori tunnetaan, tunnetaan koko avaruuden geometria. Metrisellä tensorilla on aina kaksi indeksiä, mistä syystä se voidaan esittää matriisimuodossa.

Mielivaltaisessa avaruudessa etäisyys kahden pisteen a ja b välillä saadaan käyränpituuden kaavasta

L = \int_a^b \sqrt{ g_{ij}{dx^i\over dt}{dx^j\over dt}}dt \ ,

missä on käytetty Einsteinin summaussääntöä. Käyränpituuden kaavassa esiintyvät kertoimet g_{ij} ovat avaruuden metrisen tensorin komponentit. Metrinen tensori on symmetrinen, eli

g_{ij} = g_{ji}\,.

Jos metriikka antaa mille tahansa kahdelle pisteelle aina etäisyyden, joka on positiivinen (tai nolla), metriikan sanotaan olevan positiividefiniitti ja tällöin puhutaan Riemannin metriikasta. Jos etäisyys voi olla myös negatiivinen, kyseessä on pseudo-Riemannin metriikka. Jälkimmäisiä tulee vastaan esimerkiksi suhteellisuusteoriassa (ajanluonteiset pinnat).

Jos avaruuden koordinaatisto voidaan lausua karteesisten koordinaattien avulla, metrisen tensorin laskeminen on helppoa Jacobin matriisin avulla. Jos J\, on koordinaatistomuunnosta vastaava Jacobin matriisi ja J^{T}\, sen transpoosi, metrinen tensori

g = J^{T}J\,.

Metrisen tensorin avulla mikä tahansa differentiaalinen etäisyys ds voidaan Einsteinin summaussääntöä käyttäen kirjoittaa

ds^2 = g_{\mu \nu} dx^{\mu} dx^{\nu}\,.

Erityisesti jos tensorin kaikki nollasta eroavat komponentit ovat diagonaalilla, tämä on sama kuin

ds^2 = g_{11} dx^1 dx^1 + g_{22} dx^2 dx^2 + g_{33} dx^3 dx^3 + \ldots \,

Tilanteessa, jossa g on euklidinen metriikka (ks. esimerkit alla) tämä vastaa täsmälleen Pythagoraan lausetta, kuten tietysti pitääkin.

Esimerkki metrisen tensorin määrittämisestä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kaksiulotteisessa napakoordinaatistossa

x = r \cos\theta\,
y = r \sin\theta\,

Tätä vastaava Jacobin matriisi on

J = \begin{bmatrix}\cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta\end{bmatrix}

joten napakoordinaatiston metriseksi tensoriksi saadaan

g = J^T J = \begin{bmatrix}\cos^2\theta+\sin^2\theta & -r\sin\theta \cos\theta + r\sin\theta\cos\theta \\ -r\cos\theta\sin\theta + r\cos\theta\sin\theta & r^2 \sin^2\theta + r^2\cos^2\theta\end{bmatrix}

joka sievenee muotoon

 g=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & r^2\end{bmatrix} \ .

Esimerkkejä eri avaruuksien metrisistä tensoreista[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

g = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \ .
g = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \ .

Joskus tässä etumerkit valitaan toisin päin, eli aikakoordinaattia vastaava alkio g_{00} = 1 ja paikkakoordinaatit g_{11} = g_{22} = g_{33} = -1. Valinnalla ei periaatteessa ole merkitystä.

  • Vakiosäteisen pallon pinta muodostaa kaksiulotteisen avaruuden, jonka koordinaatit ovat (\theta, \phi) ja jota vastaava metriikka on
g = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \sin^2 \theta\end{bmatrix}.

Pallon pinta on yksinkertainen esimerkki kaarevasta avaruudesta.

g = \begin{bmatrix} -(1-\frac{2GM}{rc^2}) & 0 & 0 & 0\\ 0 & (1-\frac{2GM}{r c^2})^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & r^2 \sin^2 \theta \end{bmatrix} \

kuvaa avaruutta minkä tahansa M-massaisen pallonmuotoisen kappaleen (vaikkapa tähden tai planeetan) ympärillä. Sen tunnetuin ominaisuus on mustan aukon mahdollisuus.

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Local structure tensor for multidimensional signal processing, s. 136. Presses univ. de Louvain. ISBN 9782874631016. (englanniksi)
  2. Marc De Graef & Michael McHenry: Structure of Materials: An Introduction to Crystallography, Diffraction and Symmetry, s. 80. Cambridge University Press, 2012. ISBN 9781107005877. (englanniksi)