Matriisielementti

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Matriisielementti on kvanttimekaniikassa käytetty termi, jonka avulla tyypillisesti observaabeleita kuvaaville lineaarioperaattoreille saadaan aikaiseksi matriisiesitys. Matriisielementti lasketaan operaattorista operoimalla siihen vasemmalta ja oikealta tilavektoreilla.

Oletetaan, että tilat \{|n\rangle\} muodostavat täydellisen kannan. Merkitään näitä vastaavia konjugaattitilojen joukkoa merkinnällä \{\langle m|\}. Tällöin lineaarioperaattorin \hat{A} matriisielementti on


A_{mn} \equiv \langle m | \hat{A} | n \rangle.

Esimerkiksi paikka-avaruuden tilavektorit (aaltofunktiot) ovat muotoa \psi_n(\vec{r}) jonka konjugaattitila on \psi_n^*(\vec{r}). Tällöin matriisielementti on


A_{mn} \equiv \int \vec{dr} \vec{dr}' \psi_m^*(\vec{r'}) \hat{A}(r',r) \psi_n(\vec{r}).

Integrointialueena toimii koko paikka-avaruus.

Esimerkki: spin-1/2[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Spin-1/2 -hiukkasten spin-aaltofunktiot ovat muotoa


\psi=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix},

missä a ja b ovat kompleksilukuja. Tämän spin-avaruuden operaattorit ovat lineaarikombinaatioita Paulin spin-matriiseista \sigma_i, i \in 0,1,2,3 (tai i \in 0,x,y,z). \sigma_0 on avaruuden identiteettimatriisi. Valitaan kannaksi tilat


|0 \rangle \equiv \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \text{ja} \quad |1 \rangle \equiv \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}

ja

Näin esimerkiksi matriisin \sigma_1 matriisielementit ovat


\langle 0 | \sigma_1 | 0 \rangle = 0 \quad
\langle 0 | \sigma_1 | 1 \rangle = 1 \quad
\langle 1 | \sigma_1 | 0 \rangle = 1 \quad \text{ja} \quad
\langle 1 | \sigma_1 | 1 \rangle = 0.


Käyttö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Matriisielementit ovat hyödyllisiä erityisesti erilaisia energiatasosiirtymiä tarkasteltaessa. Siirtymien valintasäännöt määräytyvät yleensä juuri matriisielementeistä. Jos halutaan tutkia millaisia häiriöitä tietty häiritsevä voima systeemiin tuo, etsitään tuota voimaa kuvaavan häiriöpotentiaalin matriisielementit jossain systeemin luonnollisessa kannassa. Jos matriisielementti joidenkin tilojen välillä häviää, myös vastaavaa transitiota ei voida kyseisellä voimalla saada aikaiseksi.

Atomien elektronien energiatilojen välisiä transitioita ulkoisessa sähkökentässä kuvataan yleisesti matriisielementtien avulla. Dipolikenttä saa esimerkiksi aikaan transitioita, joissa elektronin pääkvanttiluku muuttuu yhdellä ylös- tai alaspäin. Muuntyyppisten transitioiden matriisielementit ovat nollia.