Mandelbrotin joukko

Kuvassa vaaka-akselilla on c:n reaaliosa ja pystyakselilla imaginääriosa.

Animaatio kuvaajan laskennan 20 ensimmäisestä iteraatiosta.

Mandelbrotin joukko eli Mandelbrotin fraktaali on eräs tunnetuimmista fraktaaleista. Joukko on nimetty puolalais-ranskalaisen matemaatikon Benoît Mandelbrotin mukaan, ja se perustuu kompleksilukufunktioon z_n+1 = z_n² + c, jossa z ja c ovat kompleksilukuja.

C on vakio ja z:lle annetaan alkuarvoksi z₀ = 0, tällöin yhtälöstä saadaan z₁ = c ja edelleen z₂ = z₁ ² + c. Iterointia jatketaan kunnes z:n itseisarvo ylittää arvon 2. Jos c:n itseisarvo on lähellä nollaa, niin z ei milloinkaan saavuta arvoa 2. Tätä vastaa fraktaalin kuvaajan keskellä oleva musta alue. Jos c:n itseisarvo on suuri, esim 2, niin heti ensimmäinen iteraatio saa z:n ylittämän arvon 2. Tätä vastaa kuvan reunoilla olevat tummimmat alueet. Tällä välillä on epämääräisen muotoinen alue, jossa tarvittavien iteraatiokierrosten määrä on vaikeasti ennustettavissa.

Kuvassa kukin piste vastaa yhtä c:n arvoa ja kyseisen pisteen väri kertoo tarvittujen iterointikierrosten lukumäärän kyseisellä C:n arvolla. Kaikki pisteet, joiden väri on sama, ovat tarvinneet saman määrän iterointeja. Iterointien lukumäärän kasvun myötä väri muuttuu tumman sinisestä sinisen ja vihreän kautta keltaiseen ja edelleen muihin väreihin. Kuvaan muodostuu selvä reuna-alue, jossa värit vaihtuvat nopeasti. Tällä alueella on tyypillistä, että aivan mitättömän pieni c:n muutos vaikuttaa voimakkaasti ja arvaamattomasti tarvittavien iterointien määrän ja sitä kautta pisteen väriin.

Tarkka määritelmä & peruspiirteitä

Joukon eri osien syklien pituuksia

Mandelbrotin joukko käsittää ne kompleksifunktion z_n+1 = z_n² + c muuttujan c arvot, joilla funktion arvo pysyy rajattuna. Jos funktion itseisarvo on koskaan suurempi kuin 2, se kasvaa mielivaltaisen suureksi, täten ei pysy rajattuna. Esimerkiksi C=1 tuottaa lukujonon 0,1,2,5..., ja ei siksi kuulu joukkoon. Toisaalta C=-1 tuottaa lukujonon 0,-1,0,-1,0..., ja kuuluu joukkoon. Joukkoon kuuluvat C:n arvot joko lähestyvät tiettyä pistettä (esim. C=0 tai C=0.1) tai tiettyä sykliä (esim. C=-1). Yksittäistä pistettä lähestyvät arvot muodostavat joukon suurimman kardioidin, muut pisteet joukon loppuosan. Joukko on itseään muistuttava, toisin sanoen se sisältää loputtoman määrän lähes täydellisiä kopioita itsestään. Suurin näistä on nähtävissä joukon "antennissa". Antennin ns. "minijoukko" sisältää itsessään myös antennin, joka puolestaan sisältää vielä pienemmän minijoukon, jne.

Aiheesta muualla

• "Mandelbrot set – online generator" (englanniksi)
• Fractint-ohjelmisto (Arkistoitu – Internet Archive). (englanniksi)
• Mandelbrot Fractal Set Trip. Video. (englanniksi)
• Suomenkieliset ohjelmointiohjeet Mandelbrotin joukon tekemiseksi Lazaruksen TAChart- kaaviokomponentilla.