Maalijoukko

Funktio (f) joukosta X (vasemmalla) joukkoon Y (oikealla). Pienempi soikio Y:n sisäpuolella on funktion f arvojoukko. Y on f:n maalijoukko.

Matematiikassa funktion maalijoukko tarkoittaa sitä joukkoa, jossa on funktion kuvauksessa saatavia alkioita. Matemaattisessa merkinnässä

$f:X\to Y$

joukko $X$ tarkoittaa kuvauksen määrittelyjoukkoa ja $Y$ tarkoittaa maalijoukkoa.

Arvojoukko maalijoukossa

Funktion eli kuvauksen määritelmä on laadittu siten, että kaksi funktiota ovat samat vain, kun kaikki on samaa:

• lähtöjoukko $X$ on alkiolleen sama kummassakin kuvauksessa
• maalijoukko $Y$ on alkiolleen sama kummassakin kuvauksessa
• kuvauksen sääntö kuvaa kummassakin kuvauksessa kaikki samat lähtöjoukon alkiot samoiksi maalijoukon alkioiksi

Tämän vuoksi maalijoukon sisältö ja funktion arvojoukko siinä tulee tuntea tarkoin.

Arvojoukko on maalijoukon osajoukko.

Joskus funktion arvojoukkoa käytetään maalijoukon synonyyminä, mutta sitä se ei ole. Jos maalijoukko on sama kuin arvojoukko, kaikille maalijoukon arvoille voidaan osoittaa ainakin yksi määrittelyjoukon alkio.

Esimerkkejä

Määritellään toisen asteen potenssifunktio seuraavasti

$f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, missä $f(x)=x^{2}$

Lähtöjoukko sisältää kaikki reaaliluvut ja niillä kaikilla voidaan laskea lausekkeen $x^{2}$ arvo. Lähtöjoukko kelpaa siten määrittelyjoukoksi. Kun kaikilla lähtöjoukon luvuilla lasketaan funktion arvot, saadaan vain reaaliluvut $[0,\infty [$, joka on reaalilukujen $\mathbb {R}$ osajoukko. Kuvaus EI ole injektio eikä surjektio. Injektion määritelmän mukaan $f(a)\neq f(b)$, kun $a\neq b$. Tämä ei toteudu funktiolla $f$, sillä esimerkiksi $f(-1)=f(1)=1$. Surjektion määritelmän mukaan $f$ on surjektio, jos $f(X)=Y$ eli funktion maalijoukko on sama kuin sen arvo- eli kuvajoukko. Funktion $f$ arvojoukko on kaikki positiiviset reaaliluvut, mutta maalijoukoksi on määritelty kaikki reaaliluvut, myös negatiiviset. Funktiosta $f$ voi kuitenkin "pakottaa" surjektion määrittelemällä maalijoukon uudelleen:

Määritellään funktio hieman muuntaen seuraavasti

$f\colon \mathbb {R} \rightarrow [0,\infty [$, missä $f(x)=x^{2}$

Kuvaus on tällä kertaa surjektio ja samalla maalijoukko on tietenkin myös arvojoukko, koska kaikki maalijoukon alkiot osallistuvat kuvaukseen kerran (nolla) tai kaksi kertaa (x > 0).

Kolmannen asteen potenssifunktio

$f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, missä $f(x)=x^{3}$

on jo lausekkeen takia valmiiksi injektio ja surjektio. Funktio on tällöin bijektio, jossa kaikki maalijoukon alkiot kuvautuvat tietyksi maalijoukon alkioksi.

Yhdistetty funktio

Yhdistetyn funktion maalijoukoksi tulee "viimeisen funktion" maalijoukko. Funktio $f$ on määritelty

$g:X\to Y$

ja funktio $g$ on määritelty

$f:Y\to Z$.

Tällöin voidaan määrittää yhdistetty funktio $h$

$h:X\to Z$ siten, että $h(x)=(f\circ g)(x)=f(g(x))$.

Funktion arvot lasketaan ensin $g$ ja sitten $f$ avulla. Ensin valitaan luku lähtöjoukosta $X$ ja lasketaan se funktion $g$ lausekkeella, jolloin saadaan maalijoukon $Y$ arvo. Saatu arvo sijoitetaan funktion f lausekkeeseen, jolloin saadaan maalijoukon $Z$ arvo.

Lähteet

• Wolfram Mathworld: Codomain

Kirjallisuutta

• Merikoski, Jorma; Virtanen, Ari; Koivisto, Pertti: Diskreetti matematiikka I. Tampere: Tampereen yliopisto, 2001 (1993). ISBN 951-44-3604-0.