Maalijoukko

Funktio (f) joukosta X (vasemmalla) joukkoon Y (oikealla). Pienempi soikio Y:n sisäpuolella on funktion f arvojoukko. Y on f:n maalijoukko.

Matematiikassa funktion maalijoukko tarkoittaa sitä joukkoa, jossa on funktion kuvauksessa saatavia alkioita. Matemaattisessa merkinnässä

$f: X \to Y$

joukko $X$ tarkoittaa kuvauksen määrittelyjoukkoa ja $Y$ tarkoittaa maalijoukkoa.

Arvojoukko maalijoukossa

Funktion eli kuvauksen määritelmä on laadittu siten, että kaksi funktiota ovat samat vain, kun kaikki on samaa:

• lähtöjoukko $X$ on alkiolleen sama kummasakin kuvauksessa
• maalijoukko $Y$ on alkiolleen sama kummasakin kuvauksessa
• kuvauksen sääntö kuvaa kummassakin kuvauksessa kaikki samat lähtöjoukon alkiot samoiksi maalijoukon alkioiksi

Tämän vuoksi maalijoukon sisältö ja funktion arvojoukko siinä tulee tuntea tarkoin.

Arvojoukko on usein maalijoukon osajoukko. Tällöin funktio on injektio.

Joskus funktion arvojoukkoa käytetään maalijoukon synonyyminä, mutta sitä se ei ole. Jos maalijoukko on sama kuin arvojoukko, kuvautuu kaikki määrittelyjoukon alkiot jollekin maalijoukon alkioksi, toisin sanoen, kaikille maalijoukon arvoille voidaan osoittaa jokin määrittelyjoukon alkio.

Esimerkkejä

Määritellään toisen asteen potenssifunktio seuraavasti

$f\colon \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, missä $f(x) = x^2$

Lähtöjoukko sisältää kaikki reaaliluvut ja niillä kaikilla voidaan laskea lausekkeen $x^2$ arvo. Lähtöjoukko kelpaa siten määrittelyjoukoksi. Kun kaikilla lähtöjoukon luvuilla lasketaan funktion arvot, saadaan vain reaaliluvut $[0, \infty[$, joka on reaalilukujen $\mathbb{R}$ osajoukko. Kuvaus on injektio, sillä jotkin maalijoukon alkiot eivät osallistu kuvaukseen, ja arvojoukko on maalijoukon aito osajoukko.

Määritellään funktio heiman muuntaen seuraavasti

$f\colon \mathbb{R} \rightarrow [0, \infty[$, missä $f(x) = x^2$

Kuvaus on tällä kertaa surjektio ja samalla maalijoukko on tietenkin myös arvojoukko, koska kaikki maalijoukon alkiot osallistuvat kuvaukseen kerran (nolla) tai kaksi kertaa (x > 0).

Kolmannen asteen potenssifunktio

$f\colon \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, missä $f(x) = x^3$

on jo lausekkeen takia valmiiksi injektio ja surjektio. Funktio on tällöin bijektio, jossa kaikki maalijoukon alkiot kuvautuvat tietyksi maalijoukon alkioksi.

Yhdistetty funktio

Yhdistetyn funktion maalijoukoksi tulee "viimeisen funktion" maalijoukko. Funktio $f$ on määritelty

$g: X \to Y$

ja funktio $g$ on määritelty

$f: Y \to Z$.

Tällöin voidaan määrittää yhdistetty funktio $h$

$h: X \to Z$ siten, että $h(x)=(f \circ g)(x)= f(g(x))$.

Funktion arvot lasketaan ensin $g$ ja sitten $f$ avulla. Ensin valitaan luku lähtöjoukosta $X$ ja lasketaan se funktion $g$ lausekkeella, jolloin saadaan maalijoukon $Y$ arvo. Saatu arvo lasketaan se funktion f lausekkeella, jolloin saadaa maalijoukon $Z$ arvo.

Lähteet

• Wolfram Mathworld: Codomain