Lusinin lause

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Matematiikassa Lusinin lause (tai myös Luzinin lause) on reaalianalyysin lause, joka on nimetty Nikolai Luzinin mukaan. Lusinin lause on toinen muotoilu Littlewoodin toisesta periaatteesta.

Sen mukaan jokainen mitallinen funktio on melkein jatkuva:

Olkoon väli [a,b] annettu ja olkoon f:[a,b]\rightarrow \mathbb{C} mitallinen funktio. Tällöin \forall \epsilon > 0 on olemassa kompakti E \subset [a,b] siten, että f rajoitettuna E:hen on jatkuva ja \mu ( E^C ) < \epsilon. Tässä E^C on E:n komplementti. Huomaa, että E perii välin [a,b] topologian ja tässä topologiassa f:n jatkuvuus rajoittuu joukkoon E.

Lusinin lause todistetaan seuraavasti: Jatkuvat funktiot ovat tiheässä L^1[a,b]:ssä. Siten on siis olemassa jono jatkuvia funktioita  \{ g_n\} siten, että  \{ g_n\} \rightarrow f L^1:ssä. Tästä jonosta voidaan erottaa osajono, jota merkitään myös  \{ g_n\} :llä, siten, että  g_n \rightarrow f melkein kaikkialla. Nyt Egorovin lauseen mukaan  g_n \rightarrow f tasaisesti lukuun ottamatta mielivaltaisen pientä joukkoa. Koska jatkuvat funktiot ovat suljettuja tasaisen suppenemisen suhteen, on väite todistettu.