Luomis- ja hävitysoperaattorit

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Hävitysoperaattori eli annihilaatio-operaattori on sellainen operaattori, joka vähentää tietystä kvanttimekaanisesta tilasta hiukkasen. Sen sijaan hävitysoperaattorin hermiten konjugaatti eli luomisoperaattori lisää tiettyyn tilaan hiukkasen. [1]

Kvanttimekaniikassa hävitys- ja luomisoperaattoreita käytetään tikapuuoperaattoreina kvanttimekaaniselle harmoniselle värähtelijälle, jolloin luomisoperaattori lisää ja hävitysoperaattori pienentää energiatasoa.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Merkitään luomisoperaattoria symbolilla \scriptstyle \hat{a} ja hävitysoperaattoria symbolilla \scriptstyle \hat{a}^{\dagger}. Bosonien luomis- ja hävitysoperaattoreille pätee

[\hat{a},\hat{a}^{\dagger}] = 1.

Systeemin tilaa kuvaa tilavektori \scriptstyle | n \rangle, joka siis on ns. ket-vektori ja se määrittelee hiukkasten määrän. Kun kyseessä on tyhjiö, tilavektori on muotoa \scriptstyle | 0 \rangle.

Luomis- ja hävitysoperaattorien operoidessa tilavektoria saadaan yhtälöt

\hat{a} | n \rangle = \sqrt{n} | n-1 \rangle

\hat{a}^{\dagger} | n \rangle = \sqrt{n-1} | n+1 \rangle. [1]

Määritellään lukumääräoperaattori \scriptstyle N:

N=\hat{a}^{\dagger}\hat{a}.

Nyt toteutuvat kommutaattorit [2]

[\hat{N},\hat{a}]=-\hat{a}
[\hat{N},\hat{a}^{\dagger}]=\hat{a}^{\dagger}.

Lukumääräoperaattorin ominaistilat \scriptstyle | n \rangle merkitään

\hat{N} | n \rangle = n | n \rangle.

Energian ominaistilat merkitään

H | n \rangle = E_n | n \rangle,

missä siis \scriptstyle E_n on energian ominaisarvot, eli ainoat arvot, joita energia voi systeemissä saada.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b Walter Greiner: ”7.5”, Quantum Mechanics An Introduction, 4. painos, s. 176. Springer. ISBN 3-540-67458-6. Teoksen verkkoversio. (englanniksi)
  2. Anders Blom: The operator method for solving the harmonic oscillator in quantum mechanics (pdf) 19.3.2003. (englanniksi)
Tämä fysiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.