Lipschitz-jatkuvuus

Lipschitz-jatkuvuus on matemaattinen termi tietyntyyppiselle metristen avaruuksien välisen funktion jatkuvuudelle. Lipschitz-jatkuvuus on rajoittavampi ehto kuin funktion jatkuvuus. Erityisesti jokainen Lipschitz-jatkuva funktio on jatkuva.

Määritelmä

Metristen avaruuksien $(X,d)$ ja $(Y,d')$ välinen funktio $f:X \rightarrow Y$ on Lipschitz-funktio tai lyhyemmin Lipschitz, jos on olemassa sellainen luku $L \ge 0$, että

$d'(f(x),f(y)) \le L \cdot d(x,y)$

kaikilla $x,y \in X$. Pienintä lukua $L$, joka toteuttaa yllä olevan epäyhtälön, kutsutaan funktion $f$ Lipschitz-vakioksi. Funktiota, joka on Lipschitz vakiolla $L < 1$, kutsutaan kontraktioksi.

Lipschitz-funktion ominaisuuksia

Jokainen Lipschitz-funktio on absoluuttisesti jatkuva, ja Rademacherin lauseen mukaan Rⁿ:n avoimessa osajoukossa A määritelty Lipschitz-funktio on derivoituva melkein kaikissa A:n pisteissä.