Lipschitz-jatkuvuus

Lipschitz-jatkuvuus on matemaattinen termi tietyntyyppiselle metristen avaruuksien välisen funktion jatkuvuudelle. Lipschitz-jatkuvuus on rajoittavampi ehto kuin funktion jatkuvuus. Erityisesti jokainen Lipschitz-jatkuva funktio on jatkuva.

Määritelmä

Metristen avaruuksien $(X,d)$ ja $(Y,d')$ välinen funktio $f:X\rightarrow Y$ on Lipschitz-funktio, Lipschitz-kuvaus tai lyhyemmin Lipschitz, jos on olemassa sellainen luku $L\geq 0$, että

$d'(f(x),f(y))\leq L\cdot d(x,y)$

kaikilla $x,y\in X$. Tällöin sanotaan $f$:n olevan L-Lipschitz. Eli esimerkiksi vakiokuvaus on 0-Lipschitz. Pienintä lukua $L$, joka toteuttaa yllä olevan epäyhtälön, kutsutaan funktion $f$ Lipschitz-vakioksi. Funktiota, joka on Lipschitz vakiolla $0\leq L<1$, kutsutaan kontraktioksi.

Lipschitz-funktion ominaisuuksia

Jokainen Lipschitz-funktio on absoluuttisesti jatkuva, ja Rademacherin lauseen mukaan Rⁿ:n avoimessa osajoukossa A määritelty Lipschitz-funktio on derivoituva melkein kaikissa A:n pisteissä.

Lähteet

• Väisälä, Jussi: Topologia I, 5. korjattu painos. Helsinki: Limes ry, 2012. ISBN 978-951-745-216-8.