Lien tyyppinen yksinkertainen ryhmä

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Matematiikassa Lien tyyppinen ryhmä on ryhmä, joka liittyy läheisesti reduktiivisen lineaarisen algebrallisen ryhmän G rationaalipisteiden muodostamaan ryhmään G(k), missä k on kunta. Äärelliset Lien tyyppiset ryhmät käsittävät valtaosan epäkommmutatiivisista äärellisistä yksinkertaisista ryhmistä. Erikoistapauksina ovat klassiset ryhmät, Chevalleyn ryhmät, Steinbergin ryhmät ja Suzukin–Reen ryhmät.

Dieudonné ja Carter ovat perinteisiä viitteitä Lien tyyppisille ryhmille.

Dieudonné[1] ja Carter[2] ovat perinteisiä viitteitä Lien tyyppisten ryhmien opettelussa.

Klassiset ryhmät[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ensimmäinen lähestyminen tähän kysymykseen oli niin sanottujen klassisten ryhmien kuntien suhteen määritteleminen ja yksityiskohtainen opettelu. Tämän teki Jordan[3] vuonna 1870. Näitä ryhmiä tutki L. E. Dickson ja Jean Dieudonné. Emil Artin tutki näiden ryhmien kertalukuja tarkoituksenaan luokitella samankaltaisuudet.

Klassinen ryhmä on karkeasti sanottuna erityinen lineaarinen, ortogonaalinen, symplektinen tai unitaarinen ryhmä. On olemassa useita pieniä variaatiota, jotka saadaa ottamalla johdettuja aliryhmiä tai keskeisiä tekijäryhmiä. Näistä viimeksi mainittu johtaa projektiiviseen lineaariseen ryhmään. Nämä voidaan konstruoida annetun kunnan suhteen paljolti samalla tavalla kuin ne on kostruoitu reaalilukujen suhteen. Ne vastaavan Chevalleyn ja Steinbergin ryhmiä An, Bn, Cn, Dn, 2An, 2Dn.

Chevalleyn ryhmät[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lien tyyppisten ryhmien teoriaa selvensi algebrallisten ryhmien teoria ja Chevalleyn julkaisu[4] Lien algebroista. Tässä artikkelissa esiteltiin Chevalleyn ryhmät. Chevalley konstruoi Chevalleyn kannan kaikille kompleksisille yksinkertaisille Lien algebroille (tai pikemminkin niiden universaaleille enveloping algebroille), joissa niitä käytetään määrittämään vastaavat algebralliset ryhmät kokonaislukujen suhteen. Erityisesti voitiin ottaa niiden alkiot mistä tahansa äärellisestä kunnasta. Lien algebroille An, Bn, Cn ja Dn tämä ontoi hyvin tunnetut klassiset ryhmät, mutta konstruktio antoi myös ryhmät, jotka liittyivät poikkeuksellisiin Lien algebroihin E6, E7, E8, F4 ja G2. Tyypin G2, jota kutsutaan myös Dicksonin ryhmäksi, oli jo ennestään konstruoinut Dickson[5] samoin kuin tyypin E6[6].

Steinbergin ryhmät[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Chevalleyn konstruktio ei antanut kaikkia tunnettuja klassisia ryhmiä. Se jätti pois unitaariset ryhmät ja jakautumattomat orthogonaaliset ryhmät. Steinberg[7] löysi muunnoksen Chevalleyn konstruktioon joka anto nämä ryhmä ja kaksi uutta perhettä, 3D4 ja 2E6. Jälkimmäisen löysi suunnilleen samaan aikaan eri tavalla Tits[8]. Tämä konstruktio yleistää tavallista unitaarisen ryhmän konstruktiota yleisestä lineaarisesta ryhmästä.

Unitaarinen ryhmä esiintyy seuraavasti: yleisellä lineaarisella ryhmällä kompleksilukujen suhteen on kaavioautomorfismi, joka saadaan kääntämällä Dynkinin kaavio An (jossa vastaavuus saadaan ottamalla transpoosi käänteisalkio), ja kunta-automorfismi saadaan ottamalla kompleksikonjugaatti, joka kommutoi. Unitaarinen ryhmä on näiden kahden automorfismin tulon kiintopisteiden muodostama ryhmä.

Samoin monella Chevalleyn ryhmällä on kaavioautomorfismi joka on ryhmien Dynkinin kaavioiden indusoima, ja kunta-automorfismit, jotka ovat äärellisten kuntien automorfismien indusoimia. Kuten unitaarisessa tapauksessa, Steinberg konstruoi analogisesti joukkojen perheitä ottamalla kaavion ja kunta-automorfismien tulon kiintopisteitä.

Näistä saadaan:

 Unitaariset ryhmiä 2An, kun otetaan kertalukua kaksi olevat An:n automorfismit.
 Orthogonaalisia ryhmiä 2Dn, kun otetaan kertalukua kaksi ovevat Dn:n automorfismit. 
 Sarjat 2E6, kun otetaan kertalukua kaksi olevat E6:n automorfismit.
 Sarjat 3D4, kun otetaan kertalukua kolme olevat D4:n automorfismit.

Tyyppiä 3D4 olevilla ryhmillä ei ole analogiaa reaalilukujen kanssa, koska kompleksiluvuilla ei ole kertaluku kolme olevia automorfismeja. D4-kaavion symmetriat aiheuttaa trialiteetin.

Suzukin–Reen ryhmät[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Suzuki[9] löysi uuden äärettomän joukon ryhmiä, jotka eivät näyttäneet ensisilmäyksellä liittyvän tunnettuihin algebrallisiin ryhmiin. Ree[10][11] tiesi, että algebrallisella ryhmälla B2 oli "lisä"automorfismi karakteristikaa 2, jonka neliö oli Frobeniuksen automorfismi. Hän keksi, että jos karakteristikaa kaksi olevalla äärellisellä kunnalla on automorfismi, jonka neliö on Frobeniuksen kuvaus, niin Steinbergin konstruktion tapaisella analogisella konstruktiolla saadaan Suzukin ryhmät. Kunnat, joiden automorfismi on tällainen, ovat kertalukua 2^{2n+1}, ja niitä vastaat ryhmät ovat Suzukin ryhmät

2B2(22n+1) = Suz(22n+1).

Tarkkaan ottaen ryhmää Suz(2) ei lasketa Suzukin ryhmäksi koska se ei ole yksinkertainen; sen Frobeniuksen ryhmä on kertalukua 20. Ree löysi samantapaisia perheitä

2F4(22n+1)

ja

2G2(32n+1)

yksinkertaisia ryhmiä käyttämällä hyväksi faktaa, että F4:llä ja G2:lla on lisäautomorfisti karakteristikassa kaksi ja kolme. (Karkeasti ottaen karakteristika p on sallittu, jotta Dynkin kaaviossa voidaan jättää huomioimatta sidoksen nuoli joka on kertalukua p kun otetaan kaavioautomorfismit.) Pienin tyyppiä 2F4 oleva ryhmä 2F4(2) ei ole yksinkertainen, mutta sillä on yksinkertainen aliryhmä indeksiä kaksi. Tätä kutsutaan Titsin ryhmäksi ja se on nimetty matemaatikko Jacques Tits mukaan. Pienin tyyppiä 2G2 oleva ryhmä 2G2(3) ei ole yksinkertai, mutta sillä on normaali aliryhmä indeksiä kolme, ja se on isomorfinen ryhmät SL(2, 8) kanssa. Äärellisten yksinkertaisten ryhmien luokittelussa Reen ryhmien

2G2(32n+1)

rakenteen selvittäminen eksplisiittisesti on yksi vaikeimmista tapauksisra. Nämä ryhmät olivat myös merkittävässä roolissa kun ensimmäinen moderni sporadinen ryhmä löydettiin. Niillä on involuution keskittäjä muotoa Z/2Z × PSL(2, q) missä q = 3n. Janko löysi sporadisen ryhmän J1 tutkimalla ryhmiä, joiden involuution keskittäjä on samantapainen kuin Z/2Z × PSL(2, 5).

Suzikin ryhmät ovat ainoita epäkommmutatiivisia yksinkertaisia ryhmiä, joiden kertaluku on jaollinen kolmella. Niiden kertaluku on 22(2n+1)(22(2n+1) + 1)(2(2n+1) −1).

Suhteet äärellisiin yksinkertaisiin ryhmiin[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lien tyyppiset äärelliset ryhmät olivat ensimmäisten tutkittujen ryhmieen joukossa syklisen, symmetrisen ja alternoivan ryhmän jälkeen. PSL(2,p):n konstruoi Évariste Galois 1830-luvulla. Lien tyyppisten äärellisten ryhmien systemaattisen tutkimisen aloitti Camille Jordanin lause, jonka mukaan projektiivinen erityinen lineaarinen ryhmä PSL(2,q) on yksinkertainen kun q ≠ 2, 3. Tämä lause yleistyy korkeampiulotteisille projektiivisille ryhmille ja siitä seuraa tärkeä ääretön perhe äärellisiä yksinkertaisia ryhmiä, nimittäin PSL(2,q). Muita klassisia ryhmiä tutki Leonard Dickson 1900-luvun alussa. 1950-luvulla Claude Chevalley havaitsi, että sopivasti muotoiltuna monilla puoliyksinkertaisia Lien ryhmiä koskevilla lauseilla on analoginen algebrallisia ryhmiä koskea vastine annetussa kunnassa k. Tämä johti Chevalleyn ryhmien konstruoimiseen. Ja kuten kompaktien yksinkertaisten Lien ryhmien tapauksessa, vastaavuus tuntui olevan yhtä yksinkertaista kuin abstrakteilla ryhmillä (Titsin yksinkertaisuuslause). Vaikka 1800-luvulta asti oli tiedetty, että on olemassa muitakin yksinkertaisia ryhmiä, kuten Mathieun ryhmiä, levisi hitaasti usko, että lähes kaikki äärelliset yksinkertaiset ryhmät saadaan sopivalla laajennuksilla Chevalleyn kostruktioon, yhdessä syklisten ja alternoivien ryhmien kanssa. Edelleen poikkeustapaukset, eli sporadiset ryhmät, toteuttavat monia samoja ominaisuuksia kuin äärelliset Lien tyyppisen ryhmät ja ne voidaan konstruoida ja karekterisoida niigen geometrian avulla Titsin hengessä.

Uskomuksesta oli nyt tullut lause. Äärelliset yksinkertaiset ryhmät oli luokiteltu. Tarkastelemalla äärellisten yksinkertaisten ryhmien listaa huomataan, että äärellisen kunnan suhteen Lien tyyppiset ryhmät sisltävät kaikki äärelliset yksinkertaiset ryhmät lukuun ottamatta syklisiä ryhmiä, alternoivia ryhmiä, Titsin ryhmää ja 26:tta sporadista ryhmää.

Pienet Lien tyyppiset ryhmät[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yleisesti äärellinen ryhmä, joka liittyy yhdesti yhtenäiseen yksinkertaiseen algebralliseen ryhmään on äärellisen kunnan universaali keskeinen laajennus, joten se on perfekti ja sillä on triviaali Schurin kertoja. Kuitenkin jotkut alla olevien perheiden pienimmistä ryhmistä eivät ole perfektejä tai niillä on Schurin kertoja poikkeuksellisen suuri.

Tapaukset, joissa ryhmä ei ole perfekti, sisältää seuraavat ryhmät:

   A1(2) = SL(2, 2) Ratkeava kertalukua kuusi oleva ryhmä eli kolmen alkion symmetrinen ryhmä.
   A1(3) = SL(2, 3) Ratkeava kertalukua 24 oleva ryhmä eli neljän alkion alternoivan ryhmän 2A2(4) kaksoispeite, ratkeava).
   B2(2) Ei ole perfekti, mutta on isomorfinen kuuden alkion symmetrisen ryhmän kanssa, joten sen johdetun aliryhmän indeksi on kaksi ja
   se on kertalukua 360 oleva yksinkertainen ryhmä.
   2B2(2) = Suz(2) Kertalukua 20 oleva ratkeava ryhmä, niin sanottu Frobeniuksen ryhmä.
   2F4(2) Ei ole perfekti, mutta johdetun ryhmän indeksi on kaksi ja ryhmä on yksinkertainen Titsin ryhmä.
   G2(2) Ei ole perfekti, mutta johdetun ryhmän indeksi on kaksi ja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 6048.
   2G2(3) Ei ole perfekti, mutta johdetun ryhmän indeksi on kolme ja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 504.

Joissain tapauksissa ryhmä on perfekti mutta sen Schurin kertoja on suurempi kuin ensinnäkemältä odottaisi. Näitä tapauksia ovat muun muassa:

   A1(4) Schurin kertojalla on lisäryhmä Z/2Z, joten Schurin kertoja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 2 vaikka odottaisi olevan 1.
   A1(9) Schurin kertojalla on lisäryhmä Z/3Z, joten Schurin kertoja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 6 vaikka odottaisi olevan 2.
   A2(2) Schurin kertojalla on lisäryhmä Z/2Z, joten Schurin kertoja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 2 vaikka odottaisi olevan 1.
   A2(4) Schurin kertojalla on lisäryhmä Z/4Z × Z/4Z, joten Schurin kertoja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 48 vaikka odottaisi olevan 3.
   A3(2) Schurin kertojalla on lisäryhmä Z/2Z, joten Schurin kertoja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 2 vaikka odottaisi olevan 1.
   B3(2) = C3(2) Schurin kertojalla on lisäryhmä Z/2Z, joten Schurin kertoja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 2 vaikka odottaisi olevan 1.
   B3(3) Schurin kertojalla on lisäryhmä Z/3Z, joten Schurin kertoja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 6 vaikka odottaisi olevan 2.
   D4(2) Schurin kertojalla on lisäryhmä Z/2Z × Z/2Z, joten Schurin kertoja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 4 vaikka odottaisi olevan 1.
   F4(2) Schurin kertojalla on lisäryhmä Z/2Z, joten Schurin kertoja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 2 vaikka odottaisi olevan 1.
   G2(3) Schurin kertojalla on lisäryhmä Z/3Z, joten Schurin kertoja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 3 vaikka odottaisi olevan 1.
   G2(4) Schurin kertojalla on lisäryhmä Z/2Z, joten Schurin kertoja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 2 vaikka odottaisi olevan 1.
   2A3(4) Schurin kertojalla on lisäryhmä Z/2Z, joten Schurin kertoja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 2 vaikka odottaisi olevan 1.
   2A3(9) Schurin kertojalla on lisäryhmä Z/3Z × Z/3Z, joten Schurin kertoja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 36 vaikka odottaisi olevan 4.
   2A5(4) Schurin kertojalla on lisäryhmä Z/2Z × Z/2Z, joten Schurin kertoja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 12 vaikka odottaisi olevan 3.
   2E6(4) Schurin kertojalla on lisäryhmä Z/2Z × Z/2Z, joten Schurin kertoja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 12 vaikka odottaisi olevan 3.
   2B2(8) Schurin kertojalla on lisäryhmä Z/2Z × Z/2Z, joten Schurin kertoja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 4 vaikka odottaisi olevan 1.

On olemassa hämmentävä määrä isomorfismeja pienten Lien tyyppisten ryhmien välillä samoin kuin alternoivien ryhmien välillä. Esimerkiksi ryhmät SL(2, 4), PSL(2, 5), ja viiden alkion alternoiva ryhmä ovat kaikki keskenään isomorfisia.

Joillakin pienillä alternoivilla ryhmillä on poikkeuksellisia ominaisuuksia. Alternoivilla ryhmillä on yleensä kertalukua kaksi oleva ulkoinen automorfismiryhmä, mutta kuuden alkion alternoivalla ryhmällä on kertalukua neljä oleva ulkoinen automorfismiryhmä. Alternoivilla ryhmillä on yleensä kertalukua kaksi oleva Schurin kertoja, mutta kuuden ja seitsemän alkion alternoivilla ryhmillä on kertalukua kuusi oleva Schurin kertoja.

Merkinnällisia asioita[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Valitettavasti ei ole standardoituja merkintöjä Lien tyyppisille äärellisille ryhmille, ja kirjallisuudessa esiintyvien merkintöjen lukumäärä on kymmeniä.

  • Yksinkertainen ryhmä PSL(n, q) ei ole yleensä sama kuin ryhmä PSL(n, Fq), PSL(n):n Fq-arvopisteet. Ongelma on siinä, että surjektiivinen kuvaus algebrallisten ryhmien välillä, kuten SL(n) → PSL(n), ei välttämättä indusoi vastaavien ryhmien välille surjektiivista kuvausta, missä arvot ovat jossain ei-algebrallisesti suljetussa kunnassa. Samanlaisia ongelmia esiintyy tapauksissa, missä toisten algbrallisen ryhmän alkion kuuluvat johonkin äärelliseen kuntaan.
  • Tyyppiä An−1 olevia ryhmiä merkitään joskus PSL(n, q) (projektiivinen erityinen lineaarinen ryhmä) tai L(n, q).
  • Tyyppiä Cn olevia ryhmiä merkitään joskus Sp(2n, q) (symplektinen ryhmä) tai (häiritsevästi) Sp(n, q).
  • Notaatiot tyypille Dn (ortogonaalisille ryhmille) ovat erityisen hämmentäviä. Näille käytetään merkintöjä O(n, q), O(n, q), PSO(n, q), Ωn(q), mutta on olemassa niin monta tapaa merkitä ryhmiä, että on mahdotonta sanoa mikä ryhmistä vastaa mitäkin eri notaatiosssa. Ongelma on peräisin siitä, että yksinkertainen ryhmä ei ole ortogonaalinen ryhmä O, ei projektiivinen spesiaali ortogonaalinen ryhmä PSO, mutta on pikemminkin PSO:n aliryhmä[12] jolla ei ole klassista merkintätapaa. Erityisen ilkeäksi tämän tekee se, että esimerkiksi ATLAS käyttää merkintää O(n, q) ryhmälle, joka ei ole ortogonaalinen ryhmä mutta on sitä vastaava yksinkertainen ryhmä. Merkinnän Ω, PΩ esitteli Jean Dieudonné, vaikka hänen määrittelemänsä ryhmä ei ole yksinkertainen kun n ≤ 4. Siten samaa notaatiota voidaan käyttää hieman erilaisille ryhmille, jotka ovat samoja kun n ≥ 5 mutta erilaisia pienillä n.
  • Steinbergin ryhmille jotkut käyttävät merkintää 2An(q2) (ja niin edelleen) ryhmille, joille toiset käyttävät merkintää 2An(q). Ongelma on siinä, että tähän käsitteeseen liittyy kaksi kuntaa. Toinen on kertalukua q2 ja sen kiintokunta on kertalukua q, ja ihmisillä on erilaisia näkemyksiä siitä, mitä pitäisi sisällyttää merkintään. Notaatio "2An(q2)" on loogisempi ja johdonmukaisempi, mutta notaatio "2An(q)" on tavallisempi ja lähempänä algebrallisten ryhmien notaatiota.
  • Eri matemaatikoiden mielestä on eroja siinä, onko muotoa An(q) olevien ryhmien alkiot yksinkertaisen vai yhdesti yhtenäisen algebrallisen ryhmän alkiota. Esimerkiksi An(q) voi tarkoittaa joko erityistä lineaarista ryhmää SL(n+1, q) tai projektiivista erityistä lineaarista ryhmää PSL(n+1, q). Siten 2A2(4) voi tarkoittaa kirjoittajasta riippuen neljää erilaista ryhmää.

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Dieudonné, Jean A. (1971) [1955], La géométrie des groupes classiques (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-05391-2, MR 0310083
  2. Carter, Roger W. (1989) [1972], Simple groups of Lie type, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-50683-6, MR 0407163
  3. Jordan, Camille (1870), Traité des substitutions et des équations algébriques, Paris: Gauthier-Villars
  4. Chevalley, Claude (1955), "Sur certains groupes simples", The Tohoku Mathematical Journal. Second Series 7: 14–66, doi:10.2748/tmj/1178245104, ISSN 0040-8735, MR 0073602
  5. Dickson, L. E. (1905), "A new system of simple groups", Math. Ann. 60: 137–150, doi:10.1007/BF01447497 Leonard E. Dickson reported groups of type G2
  6. Dickson, Leonard Eugene (1901), "A class of groups in an arbitrary realm connected with the configuration of the 27 lines on a cubic surface", The quarterly journal of pure and applied mathematics 33: 145–173, Reprinted in volume 5 of his collected works
  7. Steinberg, Robert (1959), "Variations on a theme of Chevalley", Pacific Journal of Mathematics 9: 875–891, ISSN 0030-8730, MR 0109191
  8. Tits, Jacques (1958), Les "formes réelles" des groupes de type E6, Séminaire Bourbaki; 10e année: 1957/1958. Textes des conférences; Exposés 152 à 168; 2e èd. corrigée, Exposé 162 15, Paris: Secrétariat math'ematique, MR 0106247
  9. Suzuki, Michio (1960), "A new type of simple groups of finite order", Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 46: 868–870, ISSN 0027-8424, JSTOR 70960, MR 0120283
  10. Ree, Rimhak (1960), "A family of simple groups associated with the simple Lie algebra of type (G2)", Bulletin of the American Mathematical Society 66: 508–510, doi:10.1090/S0002-9904-1960-10523-X, ISSN 0002-9904, MR 0125155
  11. Ree, Rimhak (1961), "A family of simple groups associated with the simple Lie algebra of type (F4)", Bulletin of the American Mathematical Society 67: 115–116, doi:10.1090/S0002-9904-1961-10527-2, ISSN 0002-9904, MR 0125155
  12. ATLAS, p. xi