Legendren liittofunktio

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Legendren liittofunktiot ovat joukko funktioita, jotka tulevat usein vastaan erilaisissa fysiikan ja tekniikan sovelluksissa. Etenkin Laplacen yhtälön ratkaisussa pallokoordinaatistossa. Vaikka Legendren liittofunktiot voidaan lausua alkeisfunktioiden avulla, luonteensa vuoksi niitä pidetään usein erikoisfunktioina. Legendren liittofunktioista käytetään joskus myös nimitystä Legendren liittopolynomit tai assosioidut Legendren polynomit, vaikka vain osa liittofunktioista oikeastaan on polynomeja.

Legendren liittofunktiot P_n^m(x) toteuttavat Legendren liittoyhtälön eli yleistetyn Legendren differentiaaliyhtälön

(1 - x^2)\frac{d^2y}{dx^2} - 2x\frac{dy}{dx} + [n(n+1)- \frac{m^2}{1 - x^2}]y = 0

Yhtälössä esiintyvät parametrit m ja n ovat yleensä positiivisia kokonaislukuja ja niillä on ehto n \le m, jotta yhtälöllä olisi muu ratkaisu kuin y(x) = 0\,. Ensimmäiset Legendren liittofunktiot ovat

P_{0}^{0}(x)=1
P_{1}^{1}(x) = (1-x^2)^{1/2}
P_{1}^{2}(x) = 3x(1 - x^2) ^{1/2}
P_{1}^{3}(x) = \frac{3}{2}(5x^2 - 1)(1 - x^2)^{1/2}
P_{2}^{2}(x) = 3(1 - x^2)
P_{2}^{3}(x) = 15x(1 - x^2)
P_{3}^{3}(x) = 15(1 - x^2)^{3/2}

Liittofunktiot ovat polynomeja vain jos m on parillinen. Erityisesti

P_{n}^{0}(x) = P_n(x),

mikä tekee Legendren polynomeista liittofunktioiden erikoistapauksen.

Vaikka kaikki liittofunktiot eivät ole polynomeja, niillä on ortogonaalisten polynomien ominaisuuksia. Esimerkiksi Legendren liittofunktioita voidaan tuottaava Rodriguesin kaava on

P_{n}^{m}(x) = \frac{(1 - x^2)^{m/2}}{2^nn!}\frac{d^{n+m}}{dx^{n+m}}(x^2 - 1)^n

tai helpommin niitä voi laskea rekursiokaavoilla

(n-m+1)P_{n+1}^{m}(x) = (2n+1)xP_n^m(x)  - (n+m)P_{n-1}^{m}(x)
P_{n}^{m+2}(x) = \frac{2(m+1)x}{(1 - x^2)^{1/2}}P_n^{m+1}(x)  - (n-m)(n+m+1)P_{n}^{m}(x).

Ne ovat myös ortogonaalisia välillä [-1,1] siten, että

\langle P_n^m, P_k^m\rangle = \int_{-1}^{1}P_n^m(x) P_k^m(x)dx = 0, \; n \neq k

ja liittofunktiot negatiivisilla m:n arvoilla on helppo saada positiivisista vastaavista

P_n^{-m}(x) = (-1)^m \frac{(n-m)!}{(n+m)!}P_n^m(x).

Ortogonaalisten polynomien tapaan Legendren liittofunktiot muodostavat kantafunktiojoukon, jonka virittämässä kannassa voidaan esittää muita funktioita potenssisarjana. Legendren m:nsien liittofunktioiden avulla lausuttuna mielivaltaista funktiota f(x) vastaa sarjakehitelmä

f(x) = c_mP_m^m(x) + c_{m+1}P_{m+1}^m(x) + c_{m+2}P_{m+2}^m(x) + \ldots = \sum_{k=m}^{\infty}c_kP_k^m(x),

missä kertoimet c_k saadaan integraalista

c_k = \frac{2k+1}{2}\frac{(k-m)!}{(k+m)!}\int_{-1}^1 f(x)P_{k}^m(x)dx.

Kuten Legendren polynomit, myös Legendren liittofunktiot voidaan lausua sijoituksella x = \cos \theta. Tällöin ensimmäiset funktiot saavat muodot

P_{0}^{0}(\cos\theta)=1
P_{1}^{1}(\cos\theta)=-\sin\theta
P_{2}^{1}(\cos\theta)=-3\cos\theta\sin\theta
P_{2}^{2}(\cos\theta)=3\sin^2\theta
P_{3}^{1}(\cos\theta)=-\frac{3}{2}(5\cos^2\theta-1)\sin\theta
P_{3}^{2}(\cos\theta)=15\cos\theta\sin^2\theta
P_{3}^{3}(\cos\theta)=-15\sin^3\theta

Tämä esitysmuoto on erityisen tärkeä, sillä sen avulla päästään käsiksi monissa yhteyksissä tärkeisiin palloharmonisiin funktioihin.