Lambertin oikeapintainen tasoprojektio

Lambertin oikeapintaisen tasoprojektion mukainen maailmankartta. Keskipisteenä on päiväntasaajan ja nollameridiaanin leikkauspiste, 0° N 0° E. Sen vastakkainen piste eli antipodi on is 0° N 180° E, lähellä Kiribatia Tyynellämerellä. Tätä antipodipistettä esittää kartan reunaympyrä kokonaisuudessaan, ja sitä lähellä oleva osa valtamerta kuvautuu joka puolelle lähelle kartan reunaa.

Lambertin oikeapintainen tasoprojektio on eräs kuvaus pallopinnalta tason kiekolle eli ympyräviivan sisä­puolelle jäävälle alueelle. Siinä jokainen pallo­pinnan alue kuvautuu tasoalueelle, jonka pinta-ala on yhtä suuri kuin alku­peräisen alueen, mutta kulmien suuruudet muuttuvat. Kuvaus on nimetty sveitsiläisen matemaatikko Johann Heinrich Lambertin mukaan, joka esitti sen vuonna 1772.

Lambertin oikea­pintaista taso­projektiota käytetään kartografiassa karttaprojektiona. Esimerkiksi Yhdys­valloissa National Atlas of the United States käytti sitä Map Maker -sovelluksessa, ja Euroopan ympäristövirasto suosittelee sen käyttöä tilastollista aineistoa kuvaavissa Euroopan kartoissa. Sitä käytetään myös tieteellisissä yhteyksissä kuten geologiassa suorien suuntien kuvaamiseen kolmi­ulotteisessa avaruudessa. Tähän tarkoitukseen käytetään apuna erityisellä ruudukolla varustettua paperia, joka tunnetaan nimellä Schmidtin verkko.

Matemaattinen määritelmä

Pallopinta ja sitä pisteessä S sivuava taso. Jokainen pallopinnan piste, S:n antipodipistettä lukuun ottamatta, kuvautuu tasolle siihen pisteeseen, jossa kyseisen pisteen kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on S, leikkaa tason.

Lambertin oikeapintainen tasoprojektio määritellään ajattelemalla, että taso sivuaa pallopintaa jossakin pisteessä S. Olkoon P mielivaltainen tason piste, ei kuitenkaan S:n antipodipiste. Olkoon d pisteiden S ja P välinen suora etäisyys kolmiulotteisessa avaruudessa (ei siis pallopintaa pitkin mitattuna). Tällöin piste P kuvautuu tasolle pisteeseen P′, jonka etäisyys sivuamis­pisteestä S on d.

Täsmällisemmin sanottuna on olemassa yksi­käsitteinen ympyrä S, joka kulkee pisteen P kautta ja on kohti­suorassa tasoa vastaan. Se leikkaa tason kahdessa pisteessä, ja merkitään P′:llä sitä niistä, joka on lähempänä P:tä. Piste P kuvautuu siihen. S:n antipodi­pisteellä ei ole yksi­käsitteistä kuvaus­pistettä, koska sitä tällä tavoin vastaava ympyrä ei ole yksi­käsitteinen. Piste S itse kuvautuu itselleen; sitä vastaavan "ympyrän" säde on nolla.

Koordinaatit

Jos sivuamispiste S sijaitsee leveyspiirillä $\phi _{1}$ ja pituuspiirillä $\lambda _{0}$, maan pinnan piste, jonka maan­tieteellinen leveys on $\phi$ ja pituus $\lambda$, kuvautuu tasolle pisteeseen, jonka karteesiset koordinaatit (x, y) ovat:

$x=k'\cos {\phi }\sin {(\lambda -\lambda _{0})}$

$y=k'\cos {\phi _{1}}\sin {\phi }-\sin {\phi _{1}}\cos {\phi }\cos {(\lambda -\lambda _{0})}$

missä tekijä k' on

$k'={\sqrt {\frac {2}{1+\sin {\phi _{1}}\sin {\phi }+cos{\phi _{1}}\cos {\phi }\cos {(\lambda -\lambda _{0})}}}}$.

Tekijä k' on verrannollinen kartan paikalliseen mitta­kaavaan kussakin pisteessä kyseisen pisteen ja sivuamispisteen kautta kulkevaa suoraa vastaan kohtisuorassa suunnassa.

Erikoistapauksia

Jos sivuamispiste S on pohjoisnavalla (φ₁ = 90°), on $\sin {\phi _{1}}=1$ ja $\cos {\phi _{1}}=0$. Tällöin k:n lauseke yksinkertaistuu muotoon

$k'={\sqrt {\frac {2}{1+sin{\phi }}}}$

ja koordinaattien lausekkeet muotoon

$x=k'\cos {\phi }sin{(\lambda -\lambda _{0})}$

$y=-k'\cos {\phi }\cos {(\lambda -\lambda _{0})}$

Leveyspiiri $\phi$ kuvautuu tällöin ympyräksi, jonka keskipiste on kartan pohjois­navalla ja jonka säde on

$\cos {\phi }{\sqrt {\frac {2}{1+\sin {\phi }}}}$.

Jos taas sivuamispiste S on päiväntasaajalla (φ₁ = 0°), on $\sin {\phi _{1}}=0$ ja $\cos {\phi _{1}}=1$ Tällöin k':n lauseke yksin­kertaistuu muotoon

$k'={\sqrt {\frac {2}{cos{\phi _{1}}\cos {\phi }\cos {(\lambda -\lambda _{0}=}}}}$

ja koordinaattien lausekkeet muotoon

$x=k'\cos ]]{\phi })\sin {(\lambda -\lambda _{0})}$

$y=k'\cos {\phi _{1}}\sin {\phi }$

Ominaisuuksia

Seuraavassa oletetaan, että vaakasuora taso sivuaa origo­keskeistä yksikköpalloa pisteessä (0, 0, -1). Tällöin Lambertin oikeapintainen taso­projektio matemaattisena kuvauksena on määritelty muissa yksikkö­pallon pinnan pisteissä paitsi pisteessä (0, 0, 1). Muut pallo­pinnan pisteet se kuvaa origo­keskeiselle avoimelle kiekolle, jonka säde on 2. Pallon päivän­tasaajan eli ne pisteet, joissa z = 0 se kuvaa origo­keskeiselle ympyrälle, jonka säde on ${\sqrt {2}}$. Päivän­tasaaja­tason ala­puolella olevat pisteet, joissa z < 0, kuvautuvat tämän ympyrän sisä­puolelle, ylä­puolella olevat sen ulko­puolelle.

Projektio on bijektio pallopinnalta, josta on poistettu piste (0,0,1) avoimelle kiekolle, jonka säde on 2. Se on myös diffeomorfismi, toisin sanoen äärettömän monta kertaa differentioituva molemmissa suunnissa. Siinä kuvajoukon pinta-ala on aina yhtä suuri kuin lähtöjoukon, mikä voidaan osoittaa laskemalla pinta-alkion ala pallolla, kun sitä parametrisoi projektion käänteiskuvaus. Karteesisissa koordinaateissa se on

$dA=dX\;dY.$

Tämä merkitsee, että pallo­pinnalla olevan alueen pinta-alan määrittämiseksi riittää mitata sitä tason kiekolla vastaavan alueen pinta-ala.

Toisaalta projektiossa eivät pallo­pinnan käyrien väliset kulmat säily. Missään kuvauksessa joltakin pallon alueelta jollekin tason alueelle eivät säilykään sekä pinta-alat että kulmat. (Jos molemmat säilyisivät, kyseessä olisi lokaali isometria, jossa Gaussin kaarevuus säilyisi, mikä ei kuitenkaan ole mahdollista, koska pallo­pinnalla ja tasolla on eri suuri kaarevuus.) Se seikka, että taso­kuviot eivät voi täydellisesti vastata pallo­pinnan alueita, onkin kartografian perustava ongelma.

Tästä seuraa, että pallopinnan alueet saattavat kuvautua tasolle suuresti vääristyneinä. Lambertin oikea­pintaisessa taso­projektiossa tämä vääristymä on erityisen suuri kaukana projektion sivuamis­pisteestä. Yleensä tätä projektiota käytetäänkin vain enintään pallonpuoliskon laajuista aluetta esittävissä kartoissa. Koko maapallo voidaan kuitenkin kuvata kahdella erillisellä Lambertin oikeapintaisen taso­projektion mukaisella kartalla, joiden sivuamis­pisteet ovat toistensa antipodissa.

Sovelluksia

Lambertin tasoprojektio tarkoitettiin alun perin oikea­pintaiseksi karttaprojektioksi. Nykyisin sitä käytetään muillakin aloilla kuten geologiassa suuntia kuvaavan aineiston kuvaamiseen seuraavasti.

Jokaista suuntaa kolmi­ulotteisessa avaruudessa vastaa jokin origon kautta kulkeva suora. Kaikkien sellaisten suorien joukko on itsessään avaruus, jota matematiikassa sanotaan reaaliseksi projek­tiiviseksi tasoksi. Jokainen origon kautta kulkeva suora leikkaa yksikkö­kiekon kahdessa pisteessä, joista toinen on alemmalla pallonpuoliskolla $z\leq 0$. Poikkeuksena ovat vaaka­suorat viivat, joiden leikkaus­pisteet sijaitsevat kahdessa vastakkaisessa pisteessä ekvaattorilla, $z=0$. Molemmat toistensa antipodissa olevat pisteet vastaavat samaa suoraa. Täten suunnat kolmi­ulotteisessa avaruudessa vastaavat lähes täysin alemman pallon­puoliskon pisteitä. Tämä pallon­puolisko voidaan sitten Lambertin oikea­pintaisella projektiolla kuvata kiekolle, jonka säde on ${\sqrt {2}}$.

Niinpä Lambertin oikea­pintaisella projektiolla voidaan jokaista suuntaa vastaamaan asettaa tason piste. Projektion oikea­pintaisuuden vuoksi suuntien muodostamassa avaruudessa eli reaalisella projek­tiivi­sella tasolla määritellyt funktiot voidaan integroida integroimalla funktio vastaavan tasoalueen yli. Tämä on käyttö­kelpoista eri suuntia koskevan aineiston käsittelyssä.

Eivät ainoastaan suorat, vaan myös origon kautta kulkevat tasot voidaan kuvata Lambertin oikea­kulmaisella projektiolla. Tason ja pallonpuoliskon leikkaus on ympyrän­kaari, jota sanotaan tason uraksi, ja se kuvautuu yksikkö­kiekkoon käyräksi, joka yleensä ei ole ympyrän­kaari. Voidaan kuvata tätä käyrää, tai vaihto­ehtoisesti taso voidaan korvata sen kohti­suorasti leikkaavalla suoralla, jota sanotaan sen navaksi ja kuvata tason sijasta tätä käyrää. Jos useita tasoja on kuvattava yhdessä, on yksinkertaisempaa käsitellä napoja urien sijasta.

Rakennegeologian tutkijat käyttävät Lambertin oikea­pintaista taso­projektiota kuvaamaan muun muassa mineraalien kide­rakenteen eri­suuntaisia akseleita ja pintoja, lineaatioita ja foliaatioita eri kivilajeissa. Tässä yhteydessä projektiota kutsutaan oikea­pintaiseksi hemi­sfääriseksi projektioksi. Erikseen on olemassa myös oikea­kulmainen hemis­fäärinen projektio, jonka määrittelee stereografinen projektio.

Edellä on oletettu, että suunnat kuvataan alemmalle pallon­puoliskolle, $z\leq 0$, mutta yhtä hyvin ne voidaan kuvata myös ylemmälle pallon­puoliskolle $z\geq 0$, kuten toisinaan tehdäänkin. Itse asiassa mitä tahansa pallopinnan puoliskoa voitaisiin käyttää esittämään origon kautta kulkevia suoria kolmi­ulotteisessa avaruudessa.

Lähteet

• Manfredo P. Do Carmo: Differential geometry of curves and surfaces. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice Hall, 1976. ISBN 0-13-212589-7.
• Bruce E. Hobbs, Winthrop D. Means, Paul F. Means: An outline of structural geology. New York: {{{Julkaisija}}}, 1976. 0-471-40156-0.
• Michael Spivak: A comprehensive introduction to differential geometry. Houston, Texas: Publish or Perish, 1999. ISBN 0-914098-70-5.