LU-hajotelma

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

LU-hajotelma on matriisihajotelma, joka perustuu ideaan, että jokainen neliömatriisi voidaan esittää ylä- ja alakolmiomatriisien tulona. Tällöin siis matriisi

M=LU\,

missä L on alakolmiomatriisi ja U yläkolmiomatriisi. Lisäksi vaaditaan, että matriisin L diagonaalialkiot ovat ykkösiä. Alakolmiomatriisilla tarkoitetaan matriisia, jossa päädiagonaalin yläpuolella kaikki alkiot ovat nollia, ja yläkolmiomatriisilla vastaavasti matriisia, jossa päädiagonaalin alapuolella kaikki alkiot ovat nollia. Esimerkiksi 3\times3-matriisille LU-hajotelma on siis

 
        \begin{bmatrix}
           a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
           a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
           a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
        \end{bmatrix} =
      \begin{bmatrix}
           1 & 0 & 0 \\
           l_{12} & 1 & 0 \\
           l_{13} & l_{23} & 1 \\
        \end{bmatrix}
        \begin{bmatrix}
           u_{11} & u_{12} & u_{13} \\
           0 & u_{22} & u_{23} \\
           0 & 0 & u_{33} \\
        \end{bmatrix}

LU-hajotelma on käytännöllinen, sillä kolmiomatriisien käsittely esimerkiksi numeerisesti on yleensä paljon mielivaltaisen matriisin käsittelyä helpompaa.

Käyttö determinantin laskemiseen[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

LU-hajotelman avulla matriisin A\, determinantti saadaan välittömästi, sillä se on matriisin U\, diagonaalialkoiden tulo eli


\det A = \Pi_{i=1}^{n} u_{ii}

Käyttö käänteismatriisin laskemiseen[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Myös käänteismatriisi saadaan laskettua LU-kehitelmästä helposti ratkaisemalla yhtälöryhmä


LU \vec{x}_i = \vec{e}_i

missä kukin \vec{e}_i on pystyrivivektori, jonka i:s alkio on ykkönen ja kaikki muut nollia ja kukin \vec{x}_i on muodostuvan käänteismatriisin i:s pystyrivi.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • QR-hajotelma – toinen yleinen tapa muuntaa matriisi helppojen matriisien tuloksi
  • Choleskyn hajotelma – LU-hajotelman kaltainen hajotelma, joka hyödyntää lisäksi matriisin symmetrisyyttä
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.