LU-hajotelma

LU-hajotelma on matriisihajotelma, joka perustuu ideaan, että jokainen neliömatriisi voidaan esittää ylä- ja alakolmiomatriisien tulona. Tällöin siis matriisi

$M=LU\,$

missä $L$ on alakolmiomatriisi ja $U$ yläkolmiomatriisi. Lisäksi vaaditaan, että matriisin $L$ diagonaalialkiot ovat ykkösiä. Alakolmiomatriisilla tarkoitetaan matriisia, missä päädiagonaalin yläpuolella kaikki alkiot ovat nollia, ja yläkolmiomatriisilla vastaavasti matriisia, jossa päädiagonaalin alapuolella kaikki alkiot ovat nollia. Esimerkiksi $3\times3$-matriisille LU-hajotelma on siis

$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ l_{12} & 1 & 0 \\ l_{13} & l_{23} & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ 0 & u_{22} & u_{23} \\ 0 & 0 & u_{33} \\ \end{bmatrix}$

LU-hajotelma on käytännöllinen, sillä kolmiomatriisien käsittely esimerkiksi numeerisesti on yleensä paljon mielivaltaisen matriisin käsittelyä helpompaa.

Käyttö determinantin laskemiseen

LU-hajotelman avulla matriisin $A\,$ determinantti saadaan välittömästi, sillä se on matriisin $U\,$ diagonaalialkoiden tulo eli

$\det A = \Pi_{i=1}^{n} u_{ii}$

Käyttö käänteismatriisin laskemiseen

Myös käänteismatriisi saadaan laskettua LU-kehitelmästä helposti ratkaisemalla yhtälöryhmä

$LU \vec{x}_i = \vec{e}_i$

missä kukin $\vec{e}_i$ on pystyrivivektori, jonka i:s alkio on ykkönen ja kaikki muut nollia ja kukin $\vec{x}_i$ on muodostuvan käänteismatriisin i:s pystyrivi.

Katso myös

• QR-hajotelma – toinen yleinen tapa muuntaa matriisi helppojen matriisien tuloksi
• Choleskyn hajotelma – LU-hajotelman kaltainen hajotelma, joka hyödyntää lisäksi matriisin symmetrisyyttä