L'Hôpitalin sääntö

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Guillaume de l'Hôpital, jonka mukaan l'Hôpitalin sääntö on nimetty.
Johann Bernoulli, jonka uskotaan kehittäneen l'Hôpitalin säännön.

L'Hôpitalin sääntö (myös: l'Hospitalin) on 1600-luvun lopulla kehitetty, ranskalaisen matemaatikon Guillaume de l'Hôpitalin mukaan nimetty matemaattinen menetelmä, jossa käytetään derivaattaa apuna laskettaessa epämääräistä muotoa olevia raja-arvoja. L'Hôpital julkaisi säännön kirjassaan Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes vuonna 1696. L'Hôpitalin säännön on itse asiassa kehittänyt l'Hôpitalin opettaja, sveitsiläinen matemaatikko Johann Bernoulli [1]. L'Hôpital ja Bernoulli kirjoittivat sopimuksen, jonka mukaan l'Hôpital sai korvausta vastaan käyttää Bernoullin matemaattisia tuloksia vapaasti omissa nimissään.

Olkoot funktiot \scriptstyle f ja \scriptstyle g jatkuvia ja derivoituvia välillä \scriptstyle A\smallsetminus\{a\}, missä \scriptstyle A on avoin väli, joka sisältää pisteen \scriptstyle a. Oletetaan lisäksi, että

\lim_{x \to a}f(x)=\lim_{x \to a}g(x)=0 \text{ tai } \pm\infty ja
\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} on olemassa (äärellisenä tai äärettömänä) ja
g'(x)\neq 0 kaikille x \in A \smallsetminus \{ a \}.

Nyt l'Hôpitalin säännön mukaan seuraava on tosi: näiden funktioiden osamäärän raja-arvo \scriptstyle L kohdassa \scriptstyle a on sama kuin funktioiden derivaattojen osamäärän raja-arvo samassa kohdassa. Matemaattisin merkinnöin ilmaistuna saamme jälkimmäisestä lauseesta


\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} = L.

Sääntöä voidaan soveltaa useita kertoja peräkkäin, mutta säännön soveltamisen ehdot on tarkastettava tällöin uudelleen joka sovelluskerralla. Sääntö mm. helpottaa raja-arvojen laskemista, kun funktioiden derivaattojen raja-arvot on helpompi laskea kuin itse funktioiden, etenkin kun derivaattojen arvot pisteessä \scriptstyle a poikkeavat nollasta. Sääntö voidaan laajentaa myös koskemaan toispuoleisia sekä äärettömiä raja-arvoja.


l'Hôpitalin säännön todistus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Todistetaan l'Hôpitalin sääntö differentiaalilaskennan väliarvolauseen avulla.

  • Tapaus 1: Oletetaan, että piste a on äärellinen.

Määritellään f(a)=g(a)=0, jolloin funktiot f ja g ovat jatkuvia pisteessä a. Valitaan nyt piste x niin läheltä pistettä a, että funktiot f ja g toteuttavat differentiaalilaskennan väliarvolauseen oletukset välillä [a,x] (tai [x,a], jos x<a). Nyt saadaan

f'(\xi)g(x) = g'(\xi)f(x),

missä \xi \in (a,x) (tai \xi \in (x,a), jos x<a). Lisäksi g'(x) \neq 0 jossain pisteen a ympäristössä (x \neq a). Differentiaalilaskennan väliarvolauseen mukaan


\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)} = \frac{f(x)}{g(x)},

kun |x-a| \neq 0 on tarpeeksi pieni. Kun nyt x \to a, niin myös \xi \to a, joten väite seuraa yllä olevasta yhtälöstä. Sama on voimassa myös toispuoleisten raja-arvojen tapauksessa.

  • Tapaus 2: Oletetaan, että a= \pm \infty.

Merkitään t = \frac{1}{x}, jolloin todistus menee vastaavasti kuin tapauksessa 1. Tällöin


\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 0 \pm} \frac{f(\frac{1}{t})}{g(\frac{1}{t})} = \lim_{x \to 0 \pm} \frac{f'(\frac{1}{t})(-\frac{1}{t^2})}{g'(\frac{1}{t})(-\frac{1}{t^2})} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f'(x)}{g'(x)}.


Esimerkkejä l'Hôpitalin säännön käytöstä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Käytetään merkintää == osoittamaan l'Hôpitalin säännön soveltamista esimerkeissä.

  • Varsin klassinen esimerkki lauseen käytöstä on funktioiden \sin{x} ja x osamäärän raja-arvo:

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} == \lim_{x \to 0} \frac{D(\sin x)}{D(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1.
Vaikka tämä raja-arvo onkin oiva esimerkki lauseen käytöstä, se sisältää kehäpäätelmän. Tätä tulosta käytetään sinifunktion derivoimissäännön johdossa, joten l'Hopitalin sääntö ei ole todistusvoimainen kyseisen raja-arvon kohdalla. Lauseen käytön kuvaamisessa se on kuitenkin klassinen esimerkki.
  • Esimerkki tilanteesta, jossa osamäärä on epämääräistä muotoa 0/0. L'Hôpitalin säännön soveltaminen ensimmäisen kerran antaa yhä epämääräistä muotoa olevan raja-arvon. Tämä saadaan kuitenkin laskettua soveltamalla sääntöä yhteensä kolme kertaa:

\begin{align}
\lim_{x\to 0}{\frac{2\sin x-\sin 2x}{x-\sin x}}
&== \lim_{x\to 0}{\frac{D(2\sin x-\sin 2x)}{D(x-\sin x)}}
= \lim_{x\to 0}{\frac{2\cos x -2\cos 2x}{1-\cos x}}\\
&== \lim_{x\to 0}{\frac{D(2\cos x -2\cos 2x)}{D(1-\cos x)}}
= \lim_{x\to 0}{\frac{-2\sin x +4\sin 2x}{\sin x}}\\
&== \lim_{x\to 0}{\frac{D(-2\sin x +4\sin 2x)}{D(\sin x)}}
= \lim_{x\to 0}{\frac{-2\cos x +8\cos 2x}{\cos x}}
={\frac{-2 +8}{1}}
=6.
\end{align}
  • Esimerkki säännön käytöstä tilanteessa, jossa osamäärä on epämääräistä muotoa \infty/\infty:

\begin{align}
\lim_{x\to\infty} x^n e^{-x}
=\lim_{x\to\infty}{\frac{x^n}{e^x}}
&==\lim_{x\to\infty}{\frac{D(x^n)}{D(e^x)}} 
=\lim_{x\to\infty}{\frac{nx^{n-1}}{e^x}}
=n\lim_{x\to\infty}{\frac{x^{n-1}}{e^x}}\\
&==n\lim_{x\to\infty}{\frac{D(x^{n-1})}{D(e^x)}} 
=n (n-1)\lim_{x\to\infty}{\frac{x^{n-2}}{e^x}}\\
&== ... == n!\lim_{x\to\infty}{\frac{1}{e^x}}
=0.
\end{align}

Ongelmatapauksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Ennen l'Hôpitalin säännön käyttämistä on tärkeää tarkistaa, että osamäärä on varmasti epämääräistä muotoa. Tämä unohtuu helposti, jos l'Hôpitalin sääntöä käytetään useasti peräkkäin raja-arvoa laskettaessa. Lasketaan raja-arvo

\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x+x^2}
== \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{1+2x}
== \lim_{x \to 0} \frac{-\sin(x)}{2}
= 0.
Tämä on väärin, sillä \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{1+2x} ei ole epämääräistä muotoa, joten siihen ei voi soveltaa l'Hôpitalin sääntöä.
Oikea tapa:

\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x+x^2}
== \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{1+2x}
= \frac{\lim_{x \to 0} \cos(x)}{\lim_{x \to 0} 1+2x}
= \frac11
= 1.
  • Joskus l'Hôpitalin säännön käyttäminen johtaa takaisin alkuperäiseen muotoon:

\begin{align}
\lim_{x \to \infty} \frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}} 
&== \lim_{x \to \infty} \frac{D(e^x+e^{-x})}{D(e^x-e^{-x})} 
= \lim_{x \to \infty} \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\\
&== \lim_{x \to \infty} \frac{D(e^x-e^{-x})}{D(e^x+e^{-x})} 
= \lim_{x \to \infty} \frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}\\ 
&== \lim_{x \to \infty} \frac{D(e^x+e^{-x})}{D(e^x-e^{-x})}
= \dots .
\end{align}
Tämän tilanteen voi välttää sijoittamalla y=e^x, missä y \to \infty, kun x \to \infty. Nyt raja-arvon laskeminen on helppoa:

\lim_{x \to \infty} \frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}} = \lim_{y \to \infty} \frac{y+y^{-1}}{y-y^{-1}} == \lim_{y \to \infty} \frac{D(y+y^{-1})}{D(y-y^{-1})} = \lim_{y \to \infty} \frac{1-y^{-2}}{1+y^{-2}}  =  \frac{1}{1} = 1.
  • Toinen esimerkki tapauksesta, jossa l'Hôpitalin säännön käyttäminen ei johda mihinkään:

\begin{align}
\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2+x^2}}{x} 
&== \lim_{x \to \infty} \frac{D(\sqrt{2+x^2})}{D(x)} 
= \lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{2+x^2}}\\ 
&== \lim_{x \to \infty} \frac{D(x)}{D(\sqrt{2+x^2})} 
= \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2+x^2}}{x}\\ 
&== \lim_{x \to \infty} \frac{D(\sqrt{2+x^2})}{D(x)} 
=\dots .
\end{align}
Parempi tapa on sieventää lauseketta. Nyt ei tarvitse käyttää l'Hôpitalin sääntöä ja saadaan helposti:

\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2+x^2}}{x} = \lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{2}{x^2}+1} = \sqrt{0+1} = 1.

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar: Matematiikan historia. Osa 2, s. 592–594. (A history of mathematics). Suom. Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994. ISBN 951-884-150-0.