Käyrä

Matematiikassa käyrä on halutulla välillä jatkuva pisteiden joukko avaruudessa. Käyrän ei välttämättä tarvitse noudattaa mitään matemaattista mallia. Yksinkertaisimmillaan käyrä on suora viiva.

Topologinen määritelmä

Olkoon $X$ topologinen avaruus ja $I$ reaaliakselin jokin väli. Tällöin käyrä on jatkuva kuvaus $\gamma :I\to X$. Käyrää sanotaan yksinkertaiseksi, jos $\gamma$ on injektiivinen. Jos I on suljettu ja rajoitettu väli, $I=[a,b]$, sanotaan käyrää yksinkertaiseksi siinäkin tapauksessa, että $\gamma (a)=\gamma (b)$ ja $\gamma$ on välin sisäpisteissä injektiivinen.

Käyrä on suljettu käyrä, jos $I=[a,b]$ ja $\gamma (a)=\gamma (b)$. Suljettua yksinkertaista käyrää sanotaan Jordanin käyräksi.

Topologisessa tarkastelussa on huomattava, että käyrä ja sen kuvaaja ovat kaksi eri asiaa. Kahden eri käyrän kuvaajat voivat olla samat. Esimerkiksi fysikaalisesti tulkittuna käyrää pitkin voidaan kulkea eri nopeuksilla tai Jordan-käyrää voidaan kiertää useita kertoja.

Paraabeli on yksinkertainen käyrä.

Kirjallisuutta

• Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.
• Lipschutz, Seymour: General Topology. McGraw-Hill, 1965. ISBN 0-07-037988-2.
• Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria. Espoo: Otatieto, 1989. ISBN 951-672-103-6.
• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi I – Vektorialgebra ja analyyttinen geometria. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-067-0.
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).