Kvanttisähködynamiikka

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Kvanttisähködynamiikka (QED) on sähkömagnetismin relativistinen kvanttikenttäteoria. QED kuvaa sähköisesti varattujen hiukkasten vuorovaikutustapahtumat, jotka tapahtuvat fotonien välityksellä. [1] Sitä sanotaan usein "fysiikan helmeksi", koska se kuvaa äärimmäisen tarkasti elektronin anomaalisen magneettimomentin arvon ja vedyn energiatasojen Lambin siirtymän.

Teoriaa QED:stä olivat kehittelemässä Richard Feynman, Julian Schwinger ja Shin’ichirō Tomonaga. [2]

Matematiikka[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Matemaattisesti kvanttielektrodynamiikan rakenne on abelinen mittakenttäteoria, jonka symmetriaryhmänä toimii U(1) mittaryhmä. Mittakenttä, joka kuljettaa varattujen spin-1/2-kenttien välisen vuorovaikutuksen on sähkömagneettinen kenttä. QED:n Lagrangen tiheys elektronin ja positronin väliselle fotonien kuljettamalle vuorovaikutukselle on muotoa

\mathcal{L}=\bar\psi(i\gamma^\mu D_\mu-m)\psi -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}. \,
missä
 \gamma_\mu \,\! ovat Diracin matriiseja.
\ \psi ja sen Diracin adjointti \bar\psi ovat kenttiä, jotka esittävät sähköisesti varattuja hiukkasia, erityisesti elektronin ja positronin kentät esitetään Diracin spinoreina.
D_\mu = \partial_\mu+ieA_\mu \,\! on mittakovariantti derivaatta, missä \ e on kytkennän voimakkuus (sama kuin alkeisvaraus),
\ A_\mu on sähkömagneettisen kentän kovariantti nelipotentiaali ja
F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \,\! on sähkömagneettisen kentän tensori.

Eulerin-Lagrangen yhtälöt[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Laita D Lagrangen tiheyteen nähdäksesi, että L on

\mathcal{L} = i \bar{\psi} \gamma^\mu \partial_\mu \psi - e\bar{\psi}\gamma_\mu A^\mu \psi -m \bar{\psi} \psi - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}. \quad \quad (1) \,

Tämä Lagrangen tiheys voidaan laittaa Eulerin-Lagrangen yhtälöön

 \partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\mu \psi )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi} = 0 .  \quad \quad \quad \quad \quad (2) \,

jotta löydetään QED:n kenttäyhtälöt.

Nämä kenttäyhtälöt ovat

\partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\mu \psi )} \right) = \partial_\mu \left( i \bar{\psi} \gamma^\mu \right) \,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi} = -e\bar{\psi}\gamma_\mu A^\mu - m \bar{\psi} \,

Laittamalla nämä kaksi takaisin Eulerin-Lagrangen yhtälöön (2), jolloin saadaan

i \partial_\mu \bar{\psi} \gamma^\mu + e\bar{\psi}\gamma_\mu A^\mu + m \bar{\psi} = 0 \,

ja kompleksikonjugaatti

i \gamma^\mu \partial_\mu \psi - e \gamma_\mu A^\mu \psi - m \psi = 0. \,

Jos keskimmäinen termi laitetaan oikealle puolelle, saadaan:

i \gamma^\mu \partial_\mu \psi - m \psi = e \gamma_\mu A^\mu \psi \,

Vasemmanpuoleinen on kuten alkuperäinen Diracin yhtälö ja oikeanpuoleinen on vuorovaikutus sähkömagneettisen kentän kanssa.

Yksi tärkeä yhtälö saadaan laittamalla Lagrangen tiheys Eulerin-Lagrangen yhtälöön, tällä kertaa kentälle A^\mu:

 \partial_\nu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\nu A_\mu )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_\mu} = 0 .  \quad \quad \quad (3) \,

Tällä kertaa kaksi termiä ovat

\partial_\nu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\nu A_\mu )} \right) = \partial_\nu \left( \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu \right) \,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_\mu} = -e\bar{\psi} \gamma^\mu \psi \,

Nämä termit laittamalla takaisin yhtälöön (3) saadaan

\partial_\nu F^{\nu \mu} = e \bar{\psi} \gamma^\mu \psi \,

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. David Griffths: ”2.2”, Introduction to Elementary Particles. Wiley, 1987. ISBN 0-471-60386-4. (englanniksi)
  2. M. K. Sundresan: ”1: Other Theoretical Developments”, Handbook of Particle Physics. CRC Press, 2001. ISBN 0-8493-0215-3. (englanniksi)
Tämä fysiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.