Kunta (matematiikka)

Wikipedia

Kunta (engl. field) tarkoittaa algebrassa kahdella laskutoimituksella varustettua joukkoa, joka on kommutatiivinen rengas ja lisäksi sisältää kaikkien alkioidensa $a\ne0$ käänteisalkiot. Kuntia ovat esimerkiksi monet lukualueet, tunnetuimpina rationaalilukujen joukko $\mathbb Q$ ja reaalilukujen joukko $\mathbb R$ , mutta myös esimerkiksi polynomien osamäärät, rationaalifunktiot, muodostavat kunnan.

$K$ :n laskutoimituksia merkitään plus- ja kertomerkillä ( $+$ ja $\cdot$ ). Tämä tarkoittaa sitä, että " $+$ " määrää kutakin kahta $K$ :n alkiota $x$ ja $y$ vastaamaan $K$ :n tietyn alkion, jota kutsutaan $x$ :n ja $y$ :n summaksi ja merkitään $x + y$ :llä; samaten " $\cdot$ " asettaa noita kahta alkiota vastaamaan jonkin $K$ :n alkion, jota kutsutaan $x$ :n ja $y$ :n tuloksi ja merkitään $x \cdot y$ :llä (taikka yksinkertaisesti $x y$ :llä).

[muokkaa] Määritelmä

Joukko $K(+,\cdot)$ on kunta, jos se täyttää seuraavat ehdot:

Kaikilla $x, y$ on $x + (y + z) = (x + y) + z$ (summan liitäntälaki)
$K$ :ssa on nolla-alkio $0$ niin, että kaikilla $x$ on $x + 0 = x$ (summan neutraalialkio)
Kaikilla $x$ on $K$ :ssa vasta-alkio $- x$ siten, että $x + ( - x) = 0$
Kaikilla $x, y$ on $x + y = y + x$ (summan vaihdantalaki)
Kaikilla $x, y$ on $x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z$ (osittelulaki 1)
Kaikilla $x, y, z$ on $x \cdot (y \cdot z) = (x \cdot y) \cdot z$ (tulon liitäntälaki)
$K$ :ssa on ykkösalkio $1$ siten, että kaikilla $x$ on $1 \cdot x = x$ (tulon neutraalialkio)
Kaikilla $x$ paitsi $0$ :lla on $K$ :ssa käänteisalkio $x - 1$ siten, että $x \cdot x^{-1} = 1$ (tulon käänteisalkio)
Kaikilla $x, y$ on $x \cdot y = y \cdot x$ (tulon vaihdantalaki)

Vaikka nimitykset (yhteenlasku, kertolasku, summa, tulo) antavat mielikuvan, että kunnassa pelataan luvuilla, niin näin ei välttämättä ole − alkiot voivat olla muitakin käsitteitä kuin lukuja. Nollalla merkityn alkion $0$ ei senkään tarvitse olla "oikea nolla", vaan se on vain yhteenlaskussa vaikuttamaton alkio (yhteenlaskun neutraalialkio); samaten on ykkösellä merkitty $1$ vain kertolaskussa vaikuttamaton alkio(kertolaskun neutraalialkio).

Siitä ei kuitenkaan pääse mihinkään, että nuo yhdeksän ominaisuutta ovat juuri ne, jotka tunnetusti esiintyvät luvuilla. Tuntemamme tavalliset luvut, vaikkapa kaikki lukusuoran reaaliluvut, muodostavat siis kunnan. (Reaalilukujen kunta on oikeastaan täydellinen järjestetty kunta)

Muita esimerkkejä kunnista ovat kompleksilukujen kunta $\mathbb C$ sekä kaikki tämän alikunnat, joita nimitetään lukukunniksi. Näitä ovat muun muassa rationaalilukujen kunta $\mathbb Q$ , reaalilukujen kunta $\mathbb R$ , algebralliset lukukunnat $\mathbf Q(\mu)$ ja kaikkien algebrallisten lukujen kunta $\mathbb A$ . Jos $K$ on mielivaltainen kunta, niin kaikki sen alkioiden avulla muodostetut yhden tai useamman "muuttujan" rationaalifunktiot (polynomien osamäärät) muodostavat kunnan, niin sanotun rationaalifunktiokunnan. Tällainen voidaan puolestaan laajentaa esimerkiksi algebralliseksi funktiokunnaksi.

[muokkaa] Joitakin kuntia koskevia perustuloksia

Kunnan F nollasta eroavat alkiot (merkitään yleensä F^×) on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Jokainen F^×:n äärellinen aliryhmä on syklinen.

Jokainen kunta on kokonaisalue.

Äärellisen kunnan alkioiden lukumäärä on aina alkuluvun potenssi.

Kunta on rengas jolla ei ole muita ideaaleja kuin {0} ja kunta itse.

Jokaiselle kunnalle F on olemassa isomorfiaa vaille yksikäsitteinen kunta G jonka alikunta F on, kaikki F:n alkiot ovat algebrallisia G:ssä ja G on algebrallisesti suljettu. G:tä kutsutaan tällöin F:n algebralliseksi laajennukseksi.