Varantola syntyi apteekkari Vilho Uolevi Laaksosen ja rehtori Sirkka Helena Rintalan perheeseen. Hänen puolisonsa on ollut vuodesta 1968 diplomi-insinööri Heikki T. Varantola. Varantola tuli ylioppilaaksi Porin tyttölyseosta 1965 ja valmistui Turun yliopistosta filosofian kandidaatiksi 1969 ja lisensiaatiksi 1969. Filosofian tohtoriksi hän väitteli Turun yliopistossa 1985 ja toimi samasta vuodesta alkaen sekä Vaasan yliopiston että Turun yliopiston englannin kielendosenttina.[1]
Varantola toimi Turun yliopiston kieli-instituutin lehtorina 1971–1981, Turun yliopiston lehtorina 1981–1989 ja Suomen Akatemian tutkijana useaan otteeseen 1981–1986.[1]Tampereen yliopiston englannin kielen apulaisprofessorina ja professorina hän toimi vuodesta 1989,[1] erityisalanaan kääntämisen teoria ja käytäntö. Hän oli Tampereen yliopiston humanistisen tiedekunnan dekaani 1995–1996 ja toimi yliopiston vararehtorina vuodesta 1997.[2] Tampereen yliopiston rehtorina hän toimi 2004–2009 ja yliopiston kansleriksi hänet valittiin 2009.[3] Tässä tehtävässä hän toimi vuoteen 2014 asti, jolloin kanslerin tehtävä Tampereen yliopistossa lakkautettiin.[2] Varantola on toiminut myös Suomen Akatemian kulttuurin ja yhteiskunnan tutkimuksen toimikunnan ja Jyväskylän yliopiston hallituksen jäsenenä.[4] Vuonna 2005 hänet kutsuttiin Suomalaisen Tiedeakatemian jäseneksi.
