Korteweg-de Vries -yhtälö

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
KdV-yhtälöä numeerisesti mallinnettuna. Kuvassa nähdään kahden aallon törmäys ja siinä tapahtuva vaihesiirtymä. X-akselina on aika ja y-akselina paikka. Värillä ilmaistaan aallon korkeutta.

Korteweg-de Vries -yhtälö (tai lyhyemmin KdV-yhtälö) on epälineaarinen osittaisdifferentiaaliyhtälö, jolla kuvataan matalassa vedessä eteneviä aaltoja. KdV-yhtälön merkitys solitoniteoriassa on suuri, sillä sen ratkaisuna saadaan malliesimerkki solitoniaallosta. Yhtälö on saanut nimensä sitä tutkineiden Diederik Kortewegin ja Gustav de Vries'n mukaan [1].

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

KdV-yhtälö on epälineaarinen osittaisdifferentiaaliyhtälö funktiolle φ kahdessa ulottuvuudessa, paikassa x ja ajassa t :

\partial_t \phi + \partial^3_x \phi + 6\, \phi\, \partial_x \phi = 0,\,

jossa ∂x merkitsee osittaisderivaattaa x:n ja ∂t t:n suhteen

Solitoniratkaisut[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Osa yhtälön merkittävyyttä johtuu siitä, että sille on mahdollista löytää analyyttinen ratkaisu. Tämä voidaan ratkaista muun muassa olettamalla solitoniaallon etenevän nopeudella v ja sen huipun sijaitsevan ajanhetkellä t = 0 kohdassa x. Otetaan käyttöön uusi muuttuja z = xvt ja funktio f(z) = φ(x, t). Nyt saadaan yhtälöksi tavallinen differentiaaliyhtälö

\,\! f''' + 6ff' - vf' = 0,

joka voidaan integroida z:n suhteen ja saadaan

\,\! f'' + 3f^2 - vf  + C = 0.

Tässä muuttuja C on integroimisvakio. Halutaan kuitenkin ratkaisun f(z):n arvon olevan nolla kaukana aallon huipusta. Toisin sanoen siis f(z) lähestyy 0 kun z→±∞. Tästä seuraa, että vakio C = 0. Yhtälö täytyy kertoa vielä f':lla ja integroida uudestaan ennen kuin ratkaisu saadaan ulos.

Ratkaisuksi näin saadaan

\phi(x,t)=\frac{1}{2}\, v\, \frac{1}{\cosh ^2\left[{\sqrt{v}\over 2}(x-vt-x_0)\right ]},

jossa x0 merkitsee aallon huipun paikkaa ajanhetkellä t = 0. Yhtälö mallintaa oikealle liikkuvaa solitonia.

Säilyvät suureet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

KdV-yhtälölle saadaan ratkaistua äärettömän monta säilyvää suuretta [2]. Ne voidaan laskea kaavalla

 I_n = \int_{-\infty}^{\infty} P_{2n}(\phi, \partial_x\phi, \partial_{xx}^2\phi, \ldots) \textrm{d}x, \quad \forall n \geq 0,

jossa Pi lasketaan kaavalla

P_0 = \phi
 P_{n+1} = -\partial_x P_{n} + \sum_{k = 0}^{n-1} P_{k}P_{k-n-1}, \quad \forall n \geq 1.

Tästä saadaan muun muassa suureet:

Historia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

KdV-yhtälön ja solitonien historia alkaa 1834, kun John Scott Russell havaitsi kapeassa tasasyvässä kanavassa aallon etenevän muuttamatta muotoaan ja hajoamatta. Ilmiötä tutkivat Lord Rayleigh ja Joseph Boussinesq 1870-luvulla [3] ja lopulta Korteweg and De Vries vuonna 1895. Tästä seuraava merkittävä tulos saatiin 1965 kun Zabusky ja Kruskal mallinsivat KdV-yhtälöä numeerisesti [4] ja huomasivat useamman aallon törmäyksissä aaltojen säilyttävän muotonsa ja nopeutensa. Tämän jälkeen on löydetty analyyttisiä ratkaisuja useampaa kuin yhtä aaltoa mallintamaan.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Korteweg, D. J., de Vries, F.: On the Change of Form of Long Waves Advancing in a Rectangular Canal, and on a New Type of Long Stationary Waves. Philosophical Magazine, 1895, nro 39, s. 422--443.
  2. Miura, Robert M., Gardner, Clifford S., Kruskal, Martin D.: Korteweg-de Vries equation and generalizations. II. Existence of conservation laws and constants of motion. J. Mathematical Phys., 1968, nro 9, s. 1204--1209.
  3. Boussinesq, J: Essai sur la theorie des eaux courantes, s. 1–680. Memoires presentes par divers savants ` l’Acad. des Sci. Inst. Nat. France, XXIII. {{{Julkaisija}}}, 1877.
  4. Zabusky, N. J., Kruskal, M. D.: Interaction of "Solitons" in a Collisionless Plasma and the Recurrence of Initial States. Phys. Rev. Lett., 1965, nro 15, s. 240 - 243. 10.1103/PhysRevLett.15.240. Artikkelin verkkoversio.