Kongruenssi

Kongruenssirelaatio merkitsee sitä, että kahdesta luvusta jää sama jakojäännös, kun ne jaetaan samalla kolmannella luvulla. Kongruenssille käytetään yleisesti merkintää $a \equiv r \ \mbox{(mod b)} \$, joka luetaan: a on kongruentti r:n kanssa modulo b.

Kahden kokonaisluvun kongruenssi voidaan määritellä jakoyhtälön

$a, \ b \in \mathbb{Z} \$

$a \equiv r \ \mbox{(mod b)} \$, jos a = kb + r jollakin kokonaisluvulla k, toisin sanoen b|(a-r), toisin sanoen erotus a-r on jaollinen b:llä.

Kongruenssi voidaan myös yleistää kahdelle mielivaltaiselle reaaliluvulle seuraavasti: jos $x,y\in\mathbb{R},y\not =0$, on $x\mbox{(mod y)}=x-y\lfloor x/y\rfloor+ny$ jollakin $n\in\mathbb{Z}$ ja $x\mbox{(mod 0)}=x$

Kongruensseja voidaan käyttää jaksollisten funktioiden merkitsemiseen. Esimerkiksi koska $\tan x=\tan (x+\pi)$, voidaan kirjoittaa $\tan x=\tan x \mbox{(mod } \pi)$ .

Esimerkkejä

• $7 \equiv 3 \ \mbox{(mod 4)} \$, koska 7 = 1 * 4 + 3, ts. 7-3 on jaollinen 4:llä.
• $82 \equiv 1 \ \mbox{(mod 9)} \$, koska 82-1 (81 = 9*9) on jaollinen 9:llä.
• $27 \equiv 0 \ \mbox{(mod 3)} \$, koska 27 on jaollinen 3:lla.
• $-3 \equiv 3 \ \mbox{(mod 6)} \$, koska -3-3 (=-6) on jaollinen 6:lla.

Kongruenssirelaatio on ekvivalenssirelaatio, joten se jakaa kokonaislukujen joukon ekvivalenssiluokkiin.