Vaihdannaisuus

Kommutatiivisuus eli vaihdannaisuus on algebrallinen käsite. Se tarkoittaa sitä, että tietyn operaation operandien järjestyksellä ei ole väliä.

Kommutatiivisuus voidaan määritellä seuraavasti: Olkoon $X$ joukko ja $a$ ja $b$ sen alkioita. Operaatio $\otimes : X \times X \mapsto X$ on kommutatiivinen, jos kaikilla $a$ ja $b$ toteutuu $a \otimes b = b \otimes a$.

Esimerkkejä kommutatiivisista operaatioista

Luonnollisten lukujen yhteen- ja kertolasku ovat kommutatiivisia operaatioita, sillä a + b = b + a ja c * d = d * c kaikilla luonnollisilla luvuilla a, b, c ja d.

Määritellään vektorien pistetulo: Olkoot $\mathbf{x} = x_1 + x_2 + \ldots + x_n$ ja $\mathbf{y} = y_1 + y_2 + \ldots + y_n$ reaalisia tai kompleksisia vektoreita. Vektorien x ja y pistetulo määritellään seuraavasti:

$\mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = x_1 y_1 + x_2 y_2 + \ldots + x_n y_n$

Pistetulon määritelmästä ja kertolaskun kommutatiivisuudesta seuraa että pistetulo on kommutatiivinen:

$\mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = x_1 y_1 + x_2 y_2 + \ldots + x_n y_n = y_1 x_1 + y_2 x_2 + \ldots + y_n x_n = \mathbf{y}\cdot\mathbf{x}$

Esimerkkejä ei-kommutatiivisista operaatioista

Vähennyslasku ja jakolasku eivät ole kommutatiivisia operaatioita, sillä 4 - 3 ≠ 3 - 4, ja 8 ÷ 2 ≠ 2 ÷ 8.

Katso myös

• liitännäisyys
• osittelulaki