Kommutaattori (matematiikka)

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Ryhmäteoriassa ryhmän G alkioiden x ja y kommutaattori on ryhmän G alkio [x, y] = x−1y−1xy. Kommutaattorin voidaan ajatella mittaavan eräällä tavalla alkioiden kommutointia.

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Alkioiden x ja y kommutaattori liittyy olennaisesti alkioideen vaihdannaisuuteen, sillä xy = yx[x, y]. Täten alkiot x ja y kommutoivat (eli ovat vaihdannaisia) täsmälleen silloin, kun kommutaattori [x, y] on ryhmän G neutraalialkio.

Suoraan laskemalla voidaan todistaa kommutaattorille seuraavia ominaisuuksia:

  • [y,x] = [x,y]^{-1} \
  • [x y, z] = y^{-1}[x, z]y [y, z] \
  • [x, y z] = [x, z] z^{-1} [x, y] z \

Jos A ja B ovat ryhmän G osajoukkoja, niin ryhmän G aliryhmä [A,B] \ on joukon

 \{ a^{-1} b^{-1} a b \ | \ a \in A , b \in B \}

generoima aliryhmä. Aliryhmä

G' = [G,G] = \langle g^{-1}h^{-1}gh \, | \, g, h \in G \rangle

on ryhmän G derivaattaryhmä. Erityisesti ryhmä G on Abelin ryhmä jos ja vain jos

G' = \{ 1 \} \ .