Kommutaattori (matematiikka)

Ryhmäteoriassa ryhmän G alkioiden x ja y kommutaattori on ryhmän G alkio [x, y] = x⁻¹y⁻¹xy. Kommutaattorin voidaan ajatella mittaavan eräällä tavalla alkioiden kommutointia.

Ominaisuuksia

Alkioiden x ja y kommutaattori liittyy olennaisesti alkioideen vaihdannaisuuteen, sillä xy = yx+[x, y]. Täten alkiot x ja y kommutoivat (eli ovat vaihdannaisia) täsmälleen silloin, kun kommutaattori [x, y] on ryhmän G neutraalialkio.

Suoraan laskemalla voidaan todistaa kommutaattorille seuraavia ominaisuuksia:

• $[y,x] = [x,y]^{-1} \$
• $[x y, z] = y^{-1}[x, z]y [y, z] \$
• $[x, y z] = [x, z] z^{-1} [x, y] z \$

Jos A ja B ovat ryhmän G osajoukkoja, niin ryhmän G aliryhmä $[A,B] \$ on joukon

$\{ a^{-1} b^{-1} a b \ | \ a \in A , b \in B \}$

generoima aliryhmä. Aliryhmä

$G' = [G,G] = \langle g^{-1}h^{-1}gh \, | \, g, h \in G \rangle$

on ryhmän G derivaattaryhmä. Erityisesti ryhmä G on Abelin ryhmä jos ja vain jos

$G' = \{ 1 \} \ .$