Kolmion merkilliset pisteet

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Osa kolmion merkillisistä pisteistä asettuu Eulerin suoralle. Kuvassa näkyvät tunnetuimmat merkilliset pisteet: kolmion painopiste, ortokeskus, yhdeksän pisteen ympyrän keskipiste ja kolmion keskinormaalien leikkauspiste.

Kolmion merkillisellä pisteellä tarkoitetaan geometriassa yleensä leikkauspistettä, jossa kolmioon liittyvät kolme samalla tavalla muodostettua suoraa tai janaa leikkaavat toisensa. Jo antiikin Kreikassa tiedettiin kolmion kulmanpuolittajien, korkeusjanojen, keskinormaalien ja keskijanojen muodostavan tällaisia pisteitä, koska kolmion muoto ei vaikuttanut janojen leikkautumiseen eli konkurrenssiin. Myöhemmin merkillisiin pisteisiin löytyi uusia ja varsin mutkikkaitakin tapauksia, joissa niissäkään kolmion muoto ei vaikuta pisteen syntymiseen.

Mikä tahansa kolmion lähellä oleva piste ei ole merkillinen piste. Se tulee voida määrittää sellaisen geometrisen toimenpiteen (operaatio) avulla, joka on mahdollista suorittaa kolmen eri kulman tai sivun funktiona muihin kolmion osiin nähden (substituutio). Esimerkiksi kolmion painopiste on tämän perusteella merkillinen piste, koska se syntyy leikkauspisteenä jokaisesta kolmion kärjestä vedetystä, vastaisen sivun keskipisteeseen kulkevasta janasta. Toimenpiteen tulee olla myös symmetrinen, eli painopistettä määrittävän keskijanan tulee olla sama vedettiinpä se kärjestä A janalle BC tai kärjestä A janalle CB (symmetria). Toimenpiteen tulee vielä lopuksi olla homogeeninen, eli yhdenmuotoisten kolmioiden merkilliset pisteet sijaitsevat samassa suhteellisessa paikassa (homogeenisuus).[1]

Kimberlingin luettelo[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kimberlingin piste on yleisnimitys Clark Kimberlingin tutkimista ja luettelemista kolmion merkillisistä pisteistä. Osa pisteistä, neljä yllä lueteltua tapausta, tunnettiin jo antiikin Kreikassa, mutta osa on keksitty myöhemmin ja varsin monet vasta nykypäivinä. Julkaistussa luettelossa on yli 5 000 merkillistä pistettä.[2] Luettelon pisteet on indeksoitu ja niitä voidaan merkitä lyhyesti joko \scriptstyle X_i [3] tai \scriptstyle X(i) [4].

Kolmion merkilliset pisteet sijaitsevat tasolla suhteessa kolmion muotoihin, joten niiden paikka pitää ilmoittaa suhteellisilla koordinaateilla. Sijainti ilmoitetaan yleisesti käyttäen joko kolmion mittoja hyödyntäviä todellisia koordinaatteja, trilineaarisia koordinaatteja tai barysentrisiä koordinaatteja. Karteesisia eli suorakulmaisia koordinaatteja on tasogeometriassa kaksi, mutta trilineaarisia ja barysentrisiä koordenaatteja aina kolme. Merkillisillä pisteillä on keskinäisiä yhteyksiä, mikä tekee niistä matemaattisesti mielenkiintoisia tutkimuskohteita.[5][4]

Merkillisiä pisteitä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Viimeistään antiikin aikana havaittiin, että muodostaan riippumatta kolmiolla on neljä erityisen säännön mukaan muodostettavaa konkurrenttia janaa tai suoraa: kulmanpuolittaja, keskijana, keskinormaali ja korkeusjana. Näiden viivojen leikkauspisteitä kutsuttiin kolmion merkillisiksi pisteiksi.

Antiikin merkilliset pisteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kolmion merkillisistä pisteistä neljä tunnettiin niinkin varhain kuin Eukleidesin teoksesta Alkeet. Nämä pisteet ovat:

  • Kun kolmion sivujen keskipisteet yhdistetään kolmion vastakkaisen kulmauksen kärkeen, saadaa kolme keskijanaa, jotka kohtaavat samassa leikkauspisteessä, jota kutsutaan kolmion painopisteeksi. Piste on on myös levymäisen kolmion fysikaalinen painopiste \scriptstyle X_2. [7] Se on aina kolmion sisällä.
  • Kolmion kärkien ja vastakkaisten sivujen tai niiden jatkeiden väliset korkeusjanat kohtaavat yhdessä leikkauspisteessä. Tätä pistettä kutsutaan ortokeskukseksi \scriptstyle X_4.[9][10][11]

Tasasivuisella kolmiolla nämä kaikki neljä merkillistä pistettä yhtyvät samaksi pisteeksi.

Klassiset merkilliset pisteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Klassisiin merkillisiin pisteisiin luetaan antiikin pisteiden lisäksi vielä seuraavat pisteet, jotka huomattiin paljon myöhemmin: [12]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit (pdf) (tutkielma) 2012. Jyväskylä: Jyväskylän Yliopisto. Viitattu 15.4.2013.
  • Kimberling, Clark: Clark Kimberling (html) Tekijän kotisivut. 2013. Evansville: Evansvillen Yliopisto. Viitattu 20.4.2013. (englanniksi)

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit, 2012, s.12-13
  2. Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit, 2012, s.2
  3. Weisstein, Eric W.: Kimberling Center (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  4. a b Kimberling, Clark: Euler line (html) Tekijän kotisivut. 2013. Evansville: Evansvillen Yliopisto. Viitattu 20.4.2013. (englanniksi)
  5. Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit, 2012, s.i
  6. Weisstein, Eric W.: Incenter (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  7. Weisstein, Eric W.: Triangle Centroid (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  8. Weisstein, Eric W.: Circumcenter (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  9. Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit, 2012, s.7-11
  10. Weisstein, Eric W.: Orthocenter (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  11. Kimberling, Clark: Triangle Geometers (html) Tekijän kotisivut. 2013. Evansville: Evansvillen Yliopisto. Viitattu 20.4.2013. (englanniksi)
  12. Kimberling, Clark: Triangle Centers (html) Tekijän kotisivut. 2013. Evansville: Evansvillen Yliopisto. Viitattu 20.4.2013. (englanniksi)
  13. Weisstein, Eric W.: Nine-Point Center (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  14. Weisstein, Eric W.: Symmedian Point (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  15. Weisstein, Eric W.: Gergonne Point (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  16. Weisstein, Eric W.: Nagel Point (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  17. Weisstein, Eric W.: Mittenpunkt (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  18. Weisstein, Eric W.: Spieker Center (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  19. Weisstein, Eric W.: Feuerbach Point (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  20. Weisstein, Eric W.: First Fermat Point (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  21. Weisstein, Eric W.: Second Fermat Point (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  22. Weisstein, Eric W.: First Isodynamic Point (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  23. Weisstein, Eric W.: Second Isodynamic Point (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  24. Weisstein, Eric W.: First Napoleon Point (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  25. Weisstein, Eric W.: Second Napoleon Point (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  26. Weisstein, Eric W.: Schiffler Point (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  27. Kimberling, Clark: Steinerin piste (html) Tekijän kotisivut. 2013. Evansville: Evansvillen Yliopisto. Viitattu 20.4.2013. (englanniksi)

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]