Klassiset Lien ryhmät

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Matematiikassa klassiset Lien ryhmät ovat neljä ääretöntä perhettä Lien ryhmiä, jotka liittyvät läheisesti euklidisen avaruuden symmetrioihin. Näiden äärelliset analogiset ryhmät ovat klassisia Lien tyyppisiä ryhmiä. Käsitteen esitteli Hermann Weyl otsikossaan hänen vuoden 1939 monograafissa The Classical Groups).[1]

Toisinaan klassisia ryhmiä tarkastellaan kompakteista ryhmistä rajoitetussa asetuksessa. Tästä seuraa se, että niiden esitysteoria ja algebrallinen topologia on helpommin käsiteltävissä. Tämä ei kuitenkaan sisällä yleisen lineaarisen ryhmän tapausta.[2]

Suhde bilineaarisiin muotoihin[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yleinen piirre klassisilla Lien ryhmillä on se, että niistä jokainen samantapainen bilineaarisen muodon tai seskvilineaarisen muodon kanssa. Nämä neljä tyyppiä klassisia Lien ryhmiä on varustettu Dynkini kaaviolla. Perheet on esitelty seuraavasti:[3]

Joissakin tapauksissa on luonnollista pudottaa pois ehto determinantti on yksi ja tarkastella unitaarisia ja epäyhtenäisiä ortogonaalisia ryhmiä. Taulokossa on lueteltu niin sanotut ryhmien yhtenäiset kompaktit reaalimuodot; ne liittyvät läheisessti kompleksisiin analogisiin ja useisiin ei-kompakteihin muotoisi, esimerkiksi yhdessä kompaktien ortogonaalisten ryhmien kanssa tarkastellaan epämääräistä ortogonaalista ryhmää Lien algebrat, jotka vastaavat näitä ryhmiä, ovat nimeltään klassiset Lien algebrat. Kaikki klassiset Lien algebrat sopivat yhteen ääretönuloitteisen Lien algebran, kuten Moyalin algebran, kanssa.[4]

Kun klassista ryhmää G tarkastellaan ryhmän GL(n) aliryhmänä määritelmänsä perusteella, jonka mukaan se on vektoriavaruuden automorfismien ryhmä joka säilytttää voitain involuutioita saadaan G:n esitys, jota kutsutaan standardiksi esitykseksi.

Klassiset ryhmät yleisten kuntien tai renkaitten suhteen[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Klassiset ryhmät, joita tarkastellaan laajemmin algebrassa, ovat kiinnostava esimerkki matriisiryhmistä. Kun matriisinryhmän kertoimien muodostama rengas on reaali- ja kompleksilukujen muodostama kunta, nämä ryhmät ovat klassisia Lien ryhmiä.

Kun klassisia ryhmiä tarkastellaan äärellisen kunnan suhteen, on klassiset ryhmät Lien tyyppisiä ryhmiä. Näillä ryhmillä on tärkeä merkitys äärellisten yksinkertaisten ryhmien luokittelussa. Tarkastelemalla ryhmäteoriaa nähdään, että monilla lineaarisilla ryhmillä on "erityinen" aliryhmä, joka koostuu usein determinanttia yksi olevista alkioista (ortogonaalisille karakteristikaa kaksi oleville ryhmille se sisältää alkoit, joiden Dicksonin inveriantti on nolla, ja useimpiin näistä on liittynyt "projektiiviset" tekijät, jotka ovat ryhmän keskustan tekijöitä.

Sana "yleinen" ryhmän edessä tarkoittaa yleensä, että ryhmää voidaan kertoa jonkuntyyppisellä vakiolla toisin kuin jättää se kiinteäksi. Alaindeksi n tarkoittaa yleensä sen modulin dimensiota, missä ryhmä toimii. Varoitus: tämä merkintä kalskahtaa hieman jos n:ää käytetään Dynkinin kaavioiden yhteydessä, koska notaatio voi myös tarkoittaa rankkia.

Yleiset ja erityiset lineaariset ryhmät[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yleinen lineaarinen ryhmä GLn(R) on kaikkien Rn:n R-lineaaristen automorfismien muodostama ryhmä. Tämän aliryhmänä saadaan erityinen lineaarinen ryhmä SLn(R) ja tekijäryhmäksi saadaan projektiivinen yleinen lineaarinen ryhmä PGLn(R) = GLn(R)/Z(GLn(R)) ja projektiivinen erityinen lineaarinen ryhmä PSLn(R) = SLn(R)/Z(SLn(R)). Projektiivinen erityinen lineaarinen ryhmä PSLn(R) reaalilukujen kunnan suhteen on yksinkertainen kun n ≥ 2, lukuun ottamatta tapauksia n = 2 ja kun kunnan kertaluku on kaksi tai kolme.

Unitaariset ryhmät[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Unitaarinen ryhmä Un(R) on ryhmä joka säilyttää modulin seskvilineaarisen muodon. Näillä on aliryhmämä erityinen unitaarinen ryhmä SUn(R) ja niiden tekijänä saadaan projektiivinen unitaarinen ryhmä PUn(R) = Un(R)/Z(Un(R)) ja projektiivinen erityinen unitaarinen ryhmä PSUn(R) = SUn(R)/Z(SUn(R))

Symplektiset ryhmät[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Symplektinen ryhmä Sp2n(R) säilyttää modulin vinosymmetrisen muodon. Sillä on tekijänä projektiviinen symplektinen ryhmä PSp2n(R). Yleinen symplektinen ryhmä GSp2n(R) sisältää modulien automorfismit, joissa vinosymmetrinen muoto on kerrottu jollain kääntyvällä skalaarilla. Projektiivinen symplektinen ryhmä PSp2n(R) äärellisen kunnan R suhteen on yksinkertainen kun n ≥ 1, lukuun ottamatta tapauksia, missä n = 1 ja kunnan kertaluku on 2 tai 3.

Ortogonaaliset ryhmät[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ortogonaalinen ryhmä On(R) säilyttää modulin ei-degeneroidun kvadraattisen muodon. Tämän aliryhmä on erityinen ortogonaalinen ryhmä SOn(R) ja tekijöinä projektiivinen ortogonaalinen ryhmä POn(R) ja projektiivinen erityinen ortogonaalinen ryhmä PSOn(R) (Kun karakteristika on kaksi, on determinantti aina yksi, joten ortogonaalinen ryhmä määritellään usein niiden alkioiden muodostamana ryhmänä, joiden Dicksonin invariantti on yksi.)

On olemassa nimetön ryhmä, jota merkitään usein Ωn(R). Se koostuu ortogonaalisen ryhmän alkioista, joiden spinor normi on yksi ja vastaavan ali- ja tekijäryhmät ovat SΩn(R), PΩn(R), PSΩn(R). (Positiivisesti definiitille neliömudoille reaalilukujen suhteen ryhmä Ω on sama kuin ortogonaalinen ryhmä, mutta yleisessä tapauksessa se on pienempi. On olemassa myös ryhmän Ωn(R) kaksoispeite, jota kutsutaan pin-ryhmäksi, Pinn(R), ja sen aliryhmä on spin-ryhmä Spinn(R). Yleinen ortogonaalinen ryhmä GOn(R) sisältää automorfismit, jotka saadaan ottamalla moduli, joka saadaan kertomalla neliömuoto jollain kääntyvällä skalaarilla.

Vastakohta poikkeuksellisiin Lien ryhmiin[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Vastakohtana klassisiin Lien ryhmiin ovat poikkeukselliset Lien ryhmät G2, F4, E6, E7, E8, jotka ovat vähemmän tunnettuja.[5] Nämä löydettiin noin vuonna 1890 kun Wilhelm Killing ja Élie Cartan luokitteli yksinkertaiset Lien algebrat kompleksilukujen suhteen.

Huomaa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Weyl, H. (1939). The classical groups: Their Invariants and Representations, ISBN 0-691-05756-7
  2. Historiallisesti Kleinin aikaan selkeimmät esimerkit oleva kompleksikertoiminen projektiivinen lineaarinen ryhmä, koska se on kompleksisen projektiivisen avaruuden symmetriaryhmä. Tämä oli tärkeä uusi geometrinen käsite 1800-luvulla. Vektoriavaruudet tulivat myöhemmin (itse asiassa Weylin tekemänä abstraktina algebrallisena käsitteenä), osoittaen huomiota niiden symmetrisiin ryhmiin, yleisiin lineaarisiin ryhmiin. Nämä ryhmät ovat algebrallisia ryhmiä. Langlandin ohjelman kehittämisen avulla yleiset lineaariset ryhmät tulivat keskeisiksi käsitteiksi, koska ne olevat yleisimpiä ja yksinkertaisimpia tapauksia.
  3. R.Slansky, Group theory for unified model building, Physics Reports 79: Issue 1, pp. 1–128
  4. Malline:Cite doi
  5. Wybourne, B. G. (1974). Classical Groups for Physicists, Wiley-Interscience. ISBN 0471965057.

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • E. Artin, Geometric algebra, Interscience (1957)