Puikkolaskenta

Wikipedia
Ohjattu sivulta Kiinalainen tikkulaskin
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Puikkolaskenta on kiinalainen menetelmä, jossa laskutoimituksia tehtiin puikkojen avulla Kiinassa ja sen lähialueilla. Sitä käytettiin Taistelevien läänitysvaltioiden aikakaudelta (476–221 eaa.) Ming-dynastiaan (1368–1644 jaa.) asti, jolloin puikkolaskenta korvattiin nopeammalla helmitaululla. Helmitaulu on nopeampi peruslaskutoimitusten suorittamiseen, mutta se on rajoitetumpi: sillä ei voi hyvin hahmottaa yhtälöitä eikä varsinkaan yhtälöryhmiä. Tämä varmasti osaltaan vaikutti siihen, että matriisilaskennan kehitys taantui useiksi vuosisadoiksi.

Japanilainen puikkolaskupöytä
puikkolaskentakuva Yonglen tietosanakirjasta

Välineet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Puikkolaskentaan tarvittavat välineet ovat kimppu laskentapuikkoja ja laskentapöytä. Laskentapuikot olivat yleensä bambusta tehtyjä, noin 12–15 cm pitkiä ja 2–4 mm paksuja, joskus eläintenluista tai norsunluusta ja jadesta (hyvin varakkailla kauppiailla). Laskentapöytä voi olla pöytälevy, puinen levy, jossa on ristikko tai ilman ristikkoa ja sitä pidettiin pöydällä tai hiekalla. Vuonna 1971 kiinalaiset arkeologit saivat kaivettua esiin Xinjiang maakunnasta löydetystä haudasta kimpun hyvin säilyneitä eläintenluista valmistettuja laskentapuikkoja, jotka olivat säilytettynä silkkipussissa. Näiden arvioidaan olevan peräisin Han-dynastian ajalta (206 eaa. — 8 jaa). Vuonna 1975 löydettiin kimppu bambuisia laskentapuikkoja.

”Ohjelmisto”[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tärkein tarvittava ”ohjelmisto” puikkolaskimen käyttöön oli 45-lauseinen kertotaulu, jota Kiinassa on käytetty ammoisista ajoista asti, nimeltään yhdeksän-yhdeksän taulu, jonka opettelivat ulkoa niin koululaiset kuin kauppiaat, virkamiehet ja matemaatikot. Muu tarvittava ohjelmisto on alla esitellyt algoritmit.

Puikkonumerot[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Numeroiden esittäminen[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Chounumerals.jpg
231 ja sekaantumisvaihtoehdot

Puikkonumerot ovat ainoa järjestelmä, joka käyttää yhtä ainoaa merkkiä eri paikoissa osoittamaan mitä tahansa numeroa tai desimaalilukua. Ykkösten kohdalla ollessaan jokainen pystysuora puikko vastaa aina yhtä lisäkappaletta. Kaksi pystysuoraa tarkoittaa 2 näin aina lukuun 5 asti. Numerot 6-9 ilmoitetaan numeroa 5 edustavan vaakasuoran puikon ja pystysuorien puikkojen summana. Lukuja, jotka ovat suurempia kuin 9 ilmoitetaan käyttäen kymmenjärjestelmään pohjautuvaa positiojärjestelmää. Luvut jotka ovat itseisarvoltaan ykköstä pienempiä ilmoitetaan desimaalilukuina. Parittomia kymmenenpotensseja (kymmenet, tuhannet, ... kymmenesosat jne.) ilmaisevat luvut laitetaan vaakasuoraan sekaantumisen välttämiseksi. Laskutoimituksia suoritettaessa ei yleensä käytetty apuviivoja tai ruudukkoa. Kuvassa on havainnollistettu sekaantumisen mahdollisuuksia: lukua 231 voisi luulla luvuiksi 51 tai 24.

Nollien esittäminen[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Rodnumberwithzero.jpg

Puikkolaskennassa nollaa edusti aukko, joka toimi sekä numerona että paikan osoittajana. Kirjoitettaessa puikkonumeroita käytettiin samanlaista nollaa kuin Arabialaisissa numeroissa. Oikealla olevassa kuvassa nollaa edustaa vain aukko.

Negatiiviset ja positiiviset numerot[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Song matemaatikot käyttivät punaisia puikkoja positiivisille luvuille ja mustia negatiivisille luvuille. Toinen tapa on laittaa ykkösten päälle vinoon puikko kuvastamaan negatiivisuutta.

Desimaaliluvut[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Desimaalilukuja käytettiin samalla tavalla kuin me nykyisin. Esimerkkinä 1.1446154

Counting rod v1.pngCounting rod h1.pngCounting rod v4.pngCounting rod h4.pngCounting rod v6.pngCounting rod h1.pngCounting rod v5.pngCounting rod h4.png

Yhteenlasku[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Puikkonumeroilla laskettu 3748+289=4037

Arabialaisista numeroista poiketen puikkolaskenta itsessään perustuu yhteenlaskuun. Arabialaisista numeroista 1 ja 2 ei voi mekaanisesti yhdistämällä saada numeroa 3 kuten puikkoluvuilla. Oheinen animaatio esittää lukujen 3748 ja 289 summaa.

  1. Laita isompi luku ensimmäiselle riville, toinen luku toiselle riville.
  2. Laske vasemmalta oikealle, ensin 2, joka osoittaa satoja luvussa 289
  3. Ota kaksi puikkoa alhaalta ja yhdistä ne yläpuolella olevan 7:n kanssa muodostaen 9.
  4. Ota ylhäältä 2 puikkoa ja yhdistä ne alla olevaan 8; siirrä yksi puikko satoihin, jolloin niistä muodostuu yksi täysi tuhat (eli poista satasten pino sekä alempi kymmenien pino ja lisää yksi tuhat).
  5. Ota ylhäältä yksi puikko ja yhdistä se alla olevan 9 kanssa ja lisää 2 kymmeniä osoittavaan puikkolukuun kolmas puikko.
  6. Summa 3748 +289 = 4037

Ylemmän luvun puikkojen määrä muuttuu laskutoimituksen aikana kun taas alemman luvun puikot häviävät.

Vähennyslasku[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ilman lainausta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Rod subtraction.jpg

Esimerkkinä ohessa esitetty 54-23 = 31






Lainausvähennyslasku[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Rod subtraction with carry.GIF














Alla selitetty lainausvähennyslaskun vaiheet. Esimerkkinä 4231-789.

  1. Laita vähennettävä 4321 ylemmälle riville ja sen alapuolelle vähentäjä 789.
  2. Laske vasemmalta oikealle.
  3. Lainaa yksi tuhansista, se vastaa 10 satasta, vähennä siitä 7 satasta jää kolme satasta lisää nämä kolme yläpuolella olevaan 2 tulee 5 (3531 -89).
  4. Poista 7 satasia osoittanutta puikkoa, jolloin tiedetään että satasten vähennyslasku on jo suoritettu.
  5. Vähennettäessä kymppejä lainaa yksi satanen, joka on siis 10 kymppiä. 10 kymppiä – 8 kymppiä= kaksi; lisää ne yllä olevaan 3 kymppiin tulee yhteensä 5 (3451 – 9)
  6. Vähennettäessä ykkösiä lainaa yksi kymppi. 10 – 9 jää yksi lisää se yhteen yllä olevaan puikkoon. (3442)
  7. Lopulta alemmalta riviltä on kaikki puikot poistuneet ja ylemmälle riville on jäänyt luku 3442 joka on vastaus.

Kertolasku[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

38x76=2888
al Uqlidis'n (v.952) kertolasku, joka on Sun zi menetelmän muunnelma

Sun Zi joka ei ole sama kuin sodan käynnin taito kirjan kirjoittaja (vanhempi kirjoitusasu Sun Tsu tai Sun Tzu) kuvasi kertolaskutoimituksen yksityiskohtaisesti kirjassa Sun Zin matemaattinen klassikkoteos. Oikealla esitettynä askeleet tulon 38 x 76 laskemiseksi.



  1. Laita kerrottava ylös. Jätä rivi väliä. Kohdista kertoja siten, että kertojan ykkönen on samalla sarakkeella kerrottavan isoimman yksikön kanssa.
  2. Aloita kertomalla kertojan suurimmalla luvulla (tässä tapauksessa 30x76 ja sen jälkeen 8x76).
  3. Kertotaulun pohjalta tiedetään että 3 kertaa 7 on 21. Laita 2 ja 1 puikkoa keskelle siten että 1 on samassa sarakkeessa kuin kertojan 7. (70x30= 2 100)
  4. 3 kertaa 6 on 18. Aseta 8 kertojassa olevan 6 yläpuolelle. (76x30=2100 + 180= 2280)
  5. Poista ylhäältä 3, sillä sen kertominen on saatettu loppuun.
  6. Siirrä kertojaa 76 yksi askel oikealle ja muuta 7 vaakamuotoon ja 6 pystymuotoon.
  7. 8x7=56. Aseta 56 keskelle 7 yläpuolelle. (2280 + 8x70= 2280+560=2840)
  8. Poista 7 sillä sen kertolaskut on jo kaikki suoritettu
  9. 8x6=48
  10. 2840 + 48 = 2888

Jakolasku[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

10.vuosisadan al-Uqlidis jakotapa
Sunzi jakotapa \tfrac{309}{7}=44\tfrac{1}{7}
Sunzi jakotavan kaltainen al Khwarizmin jakotapa vuodelta 825 jaa.
11. vuosisadan Kushyar ibn Labban jakotapa, joka on kopio Sunzi jakotavasta

Vieressä olevassa animaatiossa on kuvattuna askeleet

\frac{309}{7}=44\frac{1}{7}

  1. Laita jaettava, 309 keskiriville
  2. jakaja 7 alariville kolmosen alapuolelle
  3. jätä ylös tilaa vastaukselle.
  4. Koska 3 ei ole jaettavissa 7:llä siirrä lukua 7 yksi pykälä oikealle ja käännä se vaakamuotoon.
  5. 7 menee 30:een 4 kertaa ja jää jakojäännös 2. Laita 4 nollan yläpuolelle (vaakamuotoon) ja
  6. jakojäännös 2 sen alapuolelle.
  7. Siirrä jakaja 7 pykälä oikealle ja käännä se pystymuotoon.
  8. 29/7= 4 jää 1
  9. Laita neljä puikkoa (pystymuodossa)ylös
  10. 29-4x7= 29-28=1
  11. Lopputulos on siis 44\tfrac{1}{7}

Sunzin jakolasku algoritmi siirtyi muuttumattomana intialaisista lähteistä vuonna 825 al Khwarizmin toimesta islamilaisiin maihin. Al Khwarizmin kirja käännettiin latinaksi 13. vuosisadalla, Sunzin algoritmi kehittyi myöhemmin Euroopassa Galley jakolaskualgoritmi. Abu'l-Hasan al-Uqlidin vuonna 925 julkaistussa kirjassa Kitab al-Fusul fi al-Hisab al-Hindi ja Ḱushyar ibn Labbanin kirjassa Hindulaiset laskuperiaatteet olevat jakoalgoritmit ovat samat kuin Sunzun jakoalgoritmi.


Rod fraction.jpg

Murtoluvut[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Mikäli jakolaskusta jää jäännös sekä jakaja että jakojäännös on jätettävä paikoilleen toistensa päälle. Liu Huin kommenteissa kirjaan Jiǔzhāng Suànshù (toinen vuosisata eaa.) eli Matemaattisen taidon 9 kappaletta; ylhäällä oleva lukua kutsuttiin shi ja alhaalla olevaa lukua fa. Sun Tzun laskemisklassikossa ylhäällä olevaa lukua kutsuttiin zi tai fenzi (kirjaimellisesti jakolaskun poika), ja alla olevaa kutsuttiin mu tai fenmu (kirjaimellisesti jakolaskun äiti). Fenzi ja Fenmu ovat nykyaikaiset termit osoittajalle ja nimittäjälle. Kuvassa osoittaja1 on edellisen tehtävän jakojäännös, 7 on jakaja, nimittäjä. Yhdessä ne muodostavat murtoluvun \tfrac{1}{7}.

Murtolukujen yhteenlasku[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

rod calculus fraction addition

\frac{1}{3} + \frac{2}{5}

  1. Laita osoittajat 1 ja 2 vasemmalle puolelle.
  2. Laita nimittäjät oikealle puolelle.
  3. Kerro ristiin 1x 5=5 ja 2 x3=6.
  4. Korvaa nimittäjät ristituloillaan.
  5. Kerro nimittäjät 3x5=15 ja laita se oikealla alas.
  6. Laske osoittajat yhteen (5+6=11)
  7. ja merkitse se nimittäjän yläpuolelle.
  8. Vastaus on 11/15

Tämä on kirjasta Jiǔzhāng Suànshù tehtävä I-7[1]

Murtolukujen vähennyslasku[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

subtraction of two rod numeral fracttions

\frac{8}{9} -\frac{1}{5}

  1. Laita osoittajat 1 ja 8 vasemmalle.
  2. Laita nimittäjät 5 ja 9 oikealle.
  3. Kerro ristiin 1x9= 9 ja 5x 8= 40.
  4. Korvaa nimittäjät uusilla.
  5. Kerro nimittäjät keskenään 5x9= 45
  6. ja laita se oikeaan alakulmaan
  7. Vähennä nimittäjät 40-9= 31.
  8. Laita se oikealle luvun 45 yläpuolelle.
  9. Vastaus 8/9 - 1/5 = 31/45

Murtolukujen kertolasku[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

rod calculus fraction multiplication

3\frac{1}{3}  \times  5\frac{2}{5}

  1. Järjestä laskupuikot 3 1/3 ja 5 2/5 laudalle
  2. shang kokonaisluvut (ylin) 3 ja 5
  3. shi (toiseksi ylin) osoittajat 1 ja 2
  4. fa (alin) riviin nimittäjät.
  5. Keskiriviin (=shi) lisätään ylärivi (=Shang) kerrottuna alarivillä(=fa) eli 1+3x3= 10 ; 2+5x5= 27
  6. keskirivin (shi) luvut kerrotaan keskenään 10x27= 270
  7. alarivillä (fa) olevat nimittäjät kerrotaan keskenään 3x5=15
  8. keskirivi (shi) jaettuna alarivillä (fa) 270/ 15 = 18

Korkein yhteinen tekijä ja supistaminen[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Korkeimman yhteisentekijän etsiminen

Kirjassa 9 kappaletta matematiikan taitoon kuvataan algoritmi korkeimman yhteisen tekijän löytämiseksi ja supistaminen. Korkein yhteinen nimittäjä löytyy Eukleideen menetelmällä vähentämällä iteratiivisesti aina isommasta luvusta pienempi kunnes erotus on yhtä suuri kuin vähentäjä. Oheinen animaatio kuvaa luvun\frac{32450625}{59056400} supistamista. Tässä tapauksessa korkein yhteinen nimittäjä on 25. Kun nimittäjän ja osoittajan jakaa luvulla 25 tulee \frac{1298205}{2362256}

Interpolaatio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

π in fraction

Kalenterin laatija ja matemaatikko He Chengtian käytti murtoluvun interpolointimenetelmää, jota hän kutsui ”päivä jakajan harmonisoinniksi”parantaakseen vanhaa likiarvoa iteroivasti lisäämällä ”heikompaan” murtolukuun vahvemman murtoluvun. Zu Chongzin legendaarinen arvo\pi:lle \frac{355}{113} on saatettu löytää He Chengtianin menetelmällä.

Lineaarinen yhtälöryhmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kirjassa Jiuzhang suanshu Matemaattisen taidon yhdeksän lukua [2] annettiin algoritmi lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemiseksi. Ongelma VIII-1 oletetaan 3 kimppua parasta laatua viljaa, 2 kimppua keskilaatua ja yksi kimppu huonointa laatua yhteensä 39 dou. Sekä 2,3,1 kimppua vastaavia laatuja yhteensä 34 dou ja 1,2,3, kimppua vastaavia laatuja yhteensä 26 dou. Selvitä minkä verran parasta, keski- ja huonointa laatua. Algebrallisesti tämä voidaan ilmaista kolmena yhtälönä, joissa on kolme tuntematonta.

3x + 2y + z = 39
2x + 3y + z = 34
x + 2y +3z = 26

Tämä oli ratkaistu Jiuzhang suanshu:ssa puikkolaskimella laittamalla luvut 3x4 matriisiin, jota on länsimaisen matriisiin verrattuna kierretty 90 astetta myötäpäivään.

quality left column center column right column
top Counting rod v1.png Counting rod h2.png Counting rod v3.png
medium Counting rod v2.png Counting rod h3.png Counting rod v2.png
low Counting rod v3.png Counting rod h1.png Counting rod v1.png
shi Counting rod h2.png Counting rod v6.png Counting rod h3.png Counting rod v4.png Counting rod h3.png Counting rod v9.png

Algoritmi

  1. kerro keskisarake oikean sarakkeen ylimmällä luvulla
  2. vähennä toistuvasti oikea sarake keskimmäisestä sarakkeesta kunnes ylin luku on 0
  3. kerro vasensarake oikean sarakkeen ylimmällä luvulla
  4. vähennä toistuvasti oikea sarake vasemmanpuoleisesta sarakkeesta kunnes ylin luku on 0

Sen jälkeen kun yllä oleva eliminaatiota oli sovellettu oikeanpuoleiseen ja keskimmäiseen sarakkeeseen, matriisi saatettiin kolmiomuotoon

quality left column center column right column
top Counting rod v3.png
medium Counting rod h5.png Counting rod v2.png
low Counting rod h3.pngCounting rod v6.png Counting rod h1.png Counting rod v1.png
shi Counting rod h9.png Counting rod v9.png Counting rod h2.png Counting rod v4.png Counting rod h3.png Counting rod v9.png

Huonointa laatua oli =\frac{99}{36}=2 \frac{3}{4} douta. Josta saatiin laskettua helposti muiden laatujen osuudet: parasta laatua viljaa 9 dou \frac{1}{4} ja keskilaatua=4 dou \frac{1}{4}>

Neliöjuuri[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kuutiojuuri[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Polynomiyhtälö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Kurt Vogel: Neun Bücher Arithmetischer Technik, Friedrich Vieweg und Sohn Braunsweig 1968 S.8
  2. Kurt Vogel: Neun Bücher Arithmetischer Technik, Friedrich Vieweg und Sohn Braunsweig 1968 S.80
Käännös suomeksi
Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja vieraskielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli: en:Rod calculus