Keskustelu:Käyrä

Esitin asian epätäsmällisesti, mitä matematiikassa ei toki tule tehdä. Tarkoitin esimerkissä seuraavaa: Funktion y=f(x) kuvaaja x,y -koordinaatistossa on aivan sama, olipa määrittelyjoukoksi valittu reaalilukujen joukko (R) tai rationaalilukujen joukko (Z). Virhe vai asiaankuulumattomuus? Höyhens 24. marraskuuta 2005 kello 15:06:29 (UTC)

Käyrät eivät ole samat, sillä niiden määrittelyjoukot eivät ole samat. Yleisesti funktioiden samuudesta ollaan kahta mieltä matemaatikkojen keskuudessa. Jos f=g, niin molempien koulukuntien mukaan funktion määrittelyjoukkojen pitää olla samat ja f(x)=g(x) kaikilla määrittelyjoukon alkioilla x. Nyt toiset määrittelevät funktiot samoiksi jos f:n ja g:n maalijoukot ovat samat, kun taas toisten mielestä funktion arvot määrittävät koko funktion, jolloin funktion niillä maalijoukon alkioilla, jotka eivät ole minkään lähtöjoukon alkion kuvia, ei ole väliä. Itse olen sitä mieltä, että funktion arvot riittävät määrittämään funktion, eli siis jälkimmäisen vaihtoehdon kannalla. (Muuten, rationaalilukujen joukko on Q, Z on kokonaisluvut :) ) --Matikkapoika 24. marraskuuta 2005 kello 20:24:30 (UTC)

Erittäin mielenkiintoista. (Hups, Q tosiaan!) Funktio on siis eri, mutta eikö kuvaaja silti ole sama x,y -koordinaatistossa, vai tuleeko esimerkiksi kysymys numeroituvuudesta ratkaisevaan asemaan? Höyhens 25. marraskuuta 2005 kello 12:08:56 (UTC)

Yleensä kuvaajien akseleiksi otetaan reaaliluvut. Tällöin kuvaus Q->R jättää aukkoja kuvaajiin, mutta kuvaus R->R ei jätä, joten kuvaajat ovat erilaiset. Tosin aukot ovat pituudettomia, jolloin kuvaaja on kuin helminauha, jossa on äärettömästi helmiä ja äärettömästi välejä, joten jos piirrät pelkän rationaalipisteiden kuvat paperille, et huomaa siinä mitään eroa jatkuvan kuvaajan kanssa. Kuvaajat ovat siis erilaiset. Numeroituvuus liittyy asemaan siten, että Q on R:n numeroituva tiheä osajoukko, joten rationaalukujen kuvat kiinnittävät koordinaatistoon numeroituvasti äärettömän monta pistettä ja loput pisteet voidaan piirtää funktion jatkuvuuden perusteella. --Matikkapoika 25. marraskuuta 2005 kello 22:15:15 (UTC)

Tämä vaikuttaa olevan nyt kunnossa. Tuossa maalijoukkoasiassa kai voinet olla Occamin partaveitsi -periaatteen mukaan lähellä järkevää päätelmää - mitäpä suotta turhia asioita määrittelemään! Höyhens 13. joulukuuta 2005 kello 09:50:33 (UTC)