Kardioidi

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Vierivän ympyrän muodostama kardioidi.
Kardioidi .

Kardioidi (kreikaksi καρδία "sydän") on tasokäyrä jonka piirtää ympyrän kehälle laitettu piste kun ympyrä vierii samansäteisen ympyrän kehää pitkin. Se on limaçon - käyrän erikoistapaus (r = d) ja se voidaan määritellä yksikulmaiseksi episykloidiksi. Se on tyypiltään sinimuotoinen spiraali ja käänteinen käyrä paraabelille. [1]

Yhtälöt[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Käyrän nollapiste sijaitsee paikallaan pysyvän ympyrän keskipisteessä. Jos ympyrän keskipiste on origossa ja sen säde on a, kardioidin parametriesitys on:

 x = a (2\cos t - \cos 2 t), \,
 y = a (2\sin t - \sin 2 t). \,

Sama kompleksitasossa:

 z = a (2e^{it} - e^{2it}). \,

Jos parametri t eliminoidaan yhtälöstä, saadaan kardioidin yhtälöksi

(x^2+y^2-a^2)^2-4a^2((x-a)^2+y^2)=0.\,

tai kompleksitasossa

(z\bar{z}-a^2)^2 -4a^2(z-a)(\bar{z}-a)=0.

Mittasuhteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kardioidin sulkema alue voidaan laskea polaariesityksellä:

 A = \frac{3}{2} \pi a^2\,

tai 3/2 osaa sen ympyrän alasta joka käytettiin sen piirtämiseen.lähde?

Kardioidin kaaren pituus voidaan laskea tarkasti. Kokonaispituus on:

 L = 16 a.\,.
Mandelbrotin joukon keskiosa on kardioidi.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]