Karakteristinen polynomi

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Karakteristinen polynomi on neliömatriiseihin liittyvä käsite. Tämä polynomi sisältää useita matriisiin liittyviä ominaisuuksia, huomattavampina matriisin ominaisarvot, determinantti sekä jälki.

Lähtökohta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Annetulle neliömatriisille A on löydettävä polynomi, jonka juuret ovat A:n ominaisarvot.

Päädiagonaalimatriisi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Päädiagonaalimatriisille eli lävistäjämatriisille A karakteristinen polynomi on helppo määritellä: jos lävistäjäalkiot ovat muotoa a_i, missä i=1,...,n, niin karakteristinen polynomi on muotoa

p_A(t)=(t - a_1)(t - a_2)(t - a_3)...(t - a_n)\,

Tämä siksi, että lävistäjäalkiot ovat matriisin ominaisarvot.

Yleinen tapaus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yleisen n\times n-neliömatriisin A tapauksessa voidaan menetellä seuraavasti. Kerroinkunnan alkio (luku) \lambda on matriisin A ominaisarvo, jos ja vain jos on olemassa sellainen vektori (ominaisvektori) \vec{v}\ne\vec{0}, että

A\vec{v} = \lambda\vec{v},

eli

(\lambda I-A)\vec{v} = \vec{0},

missä I on yksikkömatriisi. Koska vektori \vec{v} on nollasta eroava, on matriisin (A - \lambda I) oltava singulaarinen, jolloin sen determinantti on 0. Tämän determinantista saadun polynomin \det(tI - A) juuret ovat A:n ominaisarvoja.

Ominaisarvot löydetään siis polynomiyhtälön

\det(tI - A) = 0\,

ratkaisuina.

Koska funktio on polynomifunktio, on vaadittu karakteristinen polynomi löydetty.

Formaali määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon K kunta ja A K-kertoiminen n\times n -matriisi. Matriisin A karakteristinen polynomi p_A(t) on määritelmän mukaan

p_A(t) = \det(tI-A)\,,

missä I on n\times n yksikkömatriisi. Tämä on todellakin polynomi, sillä determinantti on määritelty summaksi matriisin alkioiden tuloista. Toisinaan määritellään karakteristinen polynomi kaavalla \det(A-tI). Tästä saadaan alkuperäinen määritelmä kertomalla polynomi luvulla \pm 1.

Esimerkki[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lasketaan matriisin

A=\begin{pmatrix}
2 & 1\\
-1& 0
\end{pmatrix}.

karakteristinen polynomi. Tällöin on laskettava seuraavan matriisin determinantti:

\det(t I-A) = \det \begin{pmatrix}
t-2&-1\\
1&t
\end{pmatrix}.

Tämä determinantti on

(t-2)t - 1\cdot(-1) = t^2-2t+1.\,\!

Tämä on A:n karakteristinen polynomi, missä t on matriisin ominaisarvo.