Karakteristinen polynomi

Karakteristinen polynomi on neliömatriiseihin liittyvä käsite. Tämä polynomi sisältää useita matriisiin liittyviä ominaisuuksia, huomattavampina matriisin ominaisarvot, determinantti sekä jälki.

Lähtökohta

Annetulle neliömatriisille $A$ on löydettävä polynomi, jonka juuret ovat $A$:n ominaisarvot.

Päädiagonaalimatriisi

Päädiagonaalimatriisille eli lävistäjämatriisille $A$ karakteristinen polynomi on helppo määritellä: jos lävistäjäalkiot ovat muotoa $a_i$, missä $i=1,...,n$, niin karakteristinen polynomi on muotoa

$p_A(t)=(t - a_1)(t - a_2)(t - a_3)...(t - a_n)\,$

Tämä siksi, että lävistäjäalkiot ovat matriisin ominaisarvot.

Yleinen tapaus

Yleisen $n\times n$-neliömatriisin $A$ tapauksessa voidaan menetellä seuraavasti. Kerroinkunnan alkio (luku) $\lambda$ on matriisin $A$ ominaisarvo, jos ja vain jos on olemassa sellainen vektori (ominaisvektori) $\vec{v}\ne\vec{0}$, että

$A\vec{v} = \lambda\vec{v}$,

eli

$(\lambda I-A)\vec{v} = \vec{0}$,

missä $I$ on yksikkömatriisi. Koska vektori $\vec{v}$ on nollasta eroava, on matriisin $(A - \lambda I)$ oltava singulaarinen, jolloin sen determinantti on $0$. Tämän determinantista saadun polynomin $\det(tI - A)$ juuret ovat $A$:n ominaisarvoja.

Ominaisarvot löydetään siis polynomiyhtälön

$\det(tI - A) = 0\,$

ratkaisuina.

Koska funktio on polynomifunktio, on vaadittu karakteristinen polynomi löydetty.

Formaali määritelmä

Olkoon $K$ kunta ja $A$ $K$-kertoiminen $n\times n$ -matriisi. Matriisin $A$ karakteristinen polynomi $p_A(t)$ on määritelmän mukaan

$p_A(t) = \det(tI-A)\,$,

missä $I$ on $n\times n$ yksikkömatriisi. Tämä on todellakin polynomi, sillä determinantti on määritelty summaksi matriisin alkioiden tuloista. Toisinaan määritellään karakteristinen polynomi kaavalla $\det(A-tI)$. Tästä saadaan alkuperäinen määritelmä kertomalla polynomi luvulla $\pm 1$.

Esimerkki

Lasketaan matriisin

$A=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ -1& 0 \end{pmatrix}.$

karakteristinen polynomi. Tällöin on laskettava seuraavan matriisin determinantti:

$\det(t I-A) = \det \begin{pmatrix} t-2&-1\\ 1&t \end{pmatrix}.$

Tämä determinantti on

$(t-2)t - 1\cdot(-1) = t^2-2t+1.\,\!$

Tämä on $A$:n karakteristinen polynomi, missä $t$ on matriisin ominaisarvo.