Karakteristinen polynomi

Wikipedia

Karakteristinen polynomi on neliömatriiseihin liittyvä käsite. Tämä polynomi sisältää useita matriisiin liittyviä ominaisuuksia, huomattavampina matriisin ominaisarvot, determinantti sekä jälki.

[muokkaa] Motivaatio

Annetulle neliömatriisille A on löydettävä polynomi, jonka juuret ovat A:n ominaisarvot. Lävistäjämatriisille A karakteristinen polynomi on helppo määritellä: jos lävistäjäalkiot ovat muotoa a_i, on karakteristinen polynomi muotoa

$(t - a_1)(t - a_2)(t - a_3)...\,$

Tämä siksi, että lävistäjäalkiot ovat matriisin ominaisarvot.

Yleisen matriisin A tapauksessa voidaan menetellä seuraavasti. Jos λ on A:n ominaisarvo, on olemassa ominaisvektori v≠0 siten, että

$A\vec{v} = \lambda\vec{v}$ ,

tai

$(A - \lambda I)\vec{v} = 0$ ,

missä I on yksikkömatriisi. Koska vektori v on nollasta poikkeava, on matriisi $(A - λ I)$ singulaarinen, jolloin sen determinantti on 0. Tämän determinantista saadun polynomin

$\det(tI - A) = 0\,$

juuret ovat A:n ominaisarvoja. Koska funktio on polynomifunktio, on vaadittu karakteristinen polynomi löydetty.

[muokkaa] Formaali määritelmä

Olkoon K kunta ja A K-kertoiminen n×n-matriisi. A:n karakteristinen polynomi p_A(t) on määritelmän mukaan

$p_A(t) = \det(A - tI)\,$ ,

missä I on n×n yksikkömatriisi. Tämä on todellakin polynomi, sillä determinantti on määritelty summaksi matriisin alkioiden tuloista. Toisinaan määritellään karakteristinen polynomi kaavalla det(A − tI). Tästä saadaan alkuperäinen määritelmä kertomalla polynomi -1:llä.