Kantaja (matematiikka)

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Mittateoriassa ja funktionaalianalyysissä tarvitaan usein kantajan käsitettä. Kantaja voidaan määritellä sekä funktiolle että mitalle.

Funktion kantaja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Topologisessa avaruudessa X\, määritellyn reaali- tai kompleksiarvoisen funktion f\, kantaja \operatorname{supp}\,(f) on joukon \{x\in X | f(x)\ne 0\} sulkeuma eli kaikkien kyseisen joukon sisältävien suljettujen joukkojen leikkausjoukko. Intuitiivisesti kantajaa voisi siis ajatella joukkona, jossa funktio "elää". Funktion kantajaa merkitään myös symbolilla \operatorname{spt}\,(f).

Funktion kantaja on yleensä laajempi joukko kuin niiden pisteiden joukko, joissa funktio saa nollasta poikkeavia arvoja. Esimerkiksi indikaattorifunktion \chi_{]0,1[} kantaja on suljettu väli [0,1], mutta indikaattorifunktio saa nollasta poikkeavia arvoja täsmälleen avoimella välillä ]0,1[.

Kantajaa voi suoraan soveltaa integraaliteoriaan. Esimerkiksi määritettäessä funktion integraalia ei tarvitse integroida koko perusjoukon X yli vaan riittää integroida pelkästään funktion kantajan yli, sillä niissä pisteissä, joissa funktio saa arvon nolla ei integraaliin kerry lisää (tai vähene) massaa.

Funktionaalianalyysissä usein eteen tulee ns. kompaktikantajaisia funktioita. Nämä ovat funktioita, joiden kantaja sattuu olemaan lisäksi kompakti joukko. Jatkuvat kompaktikantajaiset funktiot ovat esimerkiksi tavallisen \R^n:n tapauksessa aina integroituvia. Tämä nähdään arvioimalla ensin funktion itseisarvoa tasaisesti ylhäältä jollain positiivisella vakiolla (kompaktissa joukossa jatkuva reaalifunktio ei ole rajaton). Toisaalta vakion integraali yli kompaktin joukon (eli funktion kantajan) on äärellinen kun mittana on Lebesguen mitta. Tällöin koska integraali säilyttää epäyhtälön, niin myös vastaavan itseisarvon integraali (yli kantajan) on äärellinen. Nyt koska integraali yli kantajan on aina sama kuin koko perusjoukon yli integroiminen, on funktio siis määritelmän nojalla integroituva.

Mitan kantaja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Vastaavasti kuten funktion tapauksessa mitan kantajaa voidaan ajatella joukkona, jonne mitta on keskittynyt. Täsmällisemmin topologisen mitta-avaruuden (X,\mathcal{A},\mu ) mitan \mu kantaja on joukko

\operatorname{spt} \, \mu = \bigcap \{ E \subset X : E \mbox{ on suljettu}, \, \mu( X \setminus E ) = 0 \}  .

Mitan kantaja saadaan siis leikkaamalla keskenään kaikki ne avaruuden X suljetut joukot, joiden komplementit ovat nollamittaisia. Kantaja on siis eräässä mielessä pienin mahdollinen suljettu joukko, jonka komplementti on vielä nollamittainen.

Esimerkiksi Lebesguen mitan kantaja on koko avaruus \R^n ja pisteessä a \in \R^n määritellyn Diracin mitan \delta_a kantaja on pelkkä yksiö \{ a \}.

Mitan kantaja soveltuu integraaliteoriaan vastaavalla tavalla kuin funktion kantaja. Esimerkiksi laskettaessa \mu-mittaintegraalia reaalifunktiosta f riittää vain integroida f:ää \mu:n kantajan yli, sillä määritelmän mukaan kantajan komplementti on \mu-nollamittainen, so. siellä ei kerry integraaliin massaa.

Mitan kantajaa käytetään erityisesti mittojen geometrisissa sovelluksissa. Katso esimerkiksi massadistribuutio.