Juuri (laskutoimitus)

Rhindin papyruksessa vuodelta 1650 eaa. käytettiin juurilaskentaa kolmiomatematiikan apuna.

Matematiikassa n. juuri luvusta x tarkoittaa lukua, jonka n. potenssi on x. Luvun x n. juuri merkitään muodossa

${\sqrt[{n}]{x}}$,

missä n on luonnollinen luku. Edellä mainitussa juuressa luku x on juurrettava.

On muistettava tehdä ero juurioperaattorin käyttöön laskutoimituksena ja lukuna. Lukuna juurioperaation merkintätavan on sovittu tarkoittavan aina vain positiivista arvoa, esimerkiksi $\scriptstyle ^{4}{\sqrt {58}}$ on positiivinen irrationaaliluku.

Reaalilukujen juurifunktio

Pääartikkeli: Juurifunktio

Nollan juuri on nolla kaikilla luvun n arvoilla.

Pariton juuri voidaan määritellä kaikille reaaliluvuille siten, että saadaan tasan yksi ratkaisu, eli juuren otto on bijektiivinen funktio.

Jos otetaan parillinen juuri positiivisesta reaaliluvusta, saadaan kaksi mahdollista tulosta: negatiivinen ja positiivinen. Esimerkiksi 4. juuri luvusta 81 voi saada vastaukseksi 3 tai −3, eli $\scriptstyle ^{4}{\sqrt {81}}~=~3~\lor ~-3.$

Perusominaisuudet

Kun juuri n on luonnollinen luku, pätevät seuraavat laskutoimitukset:

${\sqrt[{n}]{ab}}={\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}},$

${\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}~~~~(b\neq 0),$

${\sqrt[{n}]{a^{m}}}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}=a^{\frac {m}{n}},$

missä a ja b ovat positiivisia reaalilukuja.

Kompleksilukujen juurifunktio

Kompleksilukujen joukossa yhtälöllä

$z^{n}=q$

on aina n kappaletta ratkaisuja, kun q on mielivaltainen kompleksiluku (≠0). Kun q on 1, sanotaan näitä ratkaisuja n.nsiksi yksikköjuuriksi, ja ne muodostavat kompleksitason yksikköympyrän sisään säännöllisen n-kulmion, jossa yhtenä kärkipisteenä on 1.

Pelkästään edellä olevan yhtälön perusteella ei kompleksiluvun juurta siis voida määritellä yksikäsitteisesti funktioksi. Näin voidaan kuitenkin tehdä poistamalla kompleksitasosta seuraavanlainen joukko S:

• S on homeomorfinen avoimen puolisuoran kanssa
  • S on siis rajoittamaton ja risteämätön viiva, jolla on avoin pää
• origo ei kuulu S:ään, mutta on sen kasautumispiste
  • Myös äärettömyys on tavallaan kasautumispiste. Viiva siis yhdistää origon ja äärettömyyden.
• Esimerkki yksinkertaisesta valinnasta S:ksi on puolisuora $\scriptstyle \{z\in \mathbb {C} \ |\ \mathrm {Im} z=0,\mathrm {Re} z<0\}$

Potenssin käänteisfunktio voidaan määritellä alueessa $\scriptstyle \mathbb {C} -S$ n:llä eri tavalla. Bijektio voidaan saada aikaan kompleksitason alueesta, joka sisältää n:nnen osan pisteistä, koko kompleksitasoon, mutta kuvauksesta ei tule jatkuvaa.

Katso myös

• Alkeisfunktio
• Juurifunktio
• Imaginaariluku
• Neliöjuuri
• Kuutiojuuri

Lähteet

• Soo Tan: Applied Mathematics for the Managerial, Life, and Social Sciences. Cengage Learning, 2012. ISBN 9781133108948. (englanniksi)